Повторение (Блок: Натуральные числа и ноль) .Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности.

При решении задач на нахождение двух чисел по их сумме и разности помогают схематические рисунки.

Зада ч а. В первой коробке на 6 карандашей больше, чем во второй, а в двух вместе 30 карандашей. Сколько карандашей в каждой коробке?

Р е ш е н и е. Выполним схематический рисунок:

Если из первой коробки вынуть 6 карандашей, в ней станет столько же карандашей, сколько и во второй, а в двух вместе — в 2 раза больше, чем во второй:

1. 30-6=24 (кар.).

Найдём число карандашей во второй коробке:

1. 24 : 2=12 (кар.).

Теперь вернём 6 карандашей в первую коробку, т. е. наидём число карандашей в первой коробке:

1. 12+6= 18 (кар.).

Ответ: 18 и 12 карандашей.

Блок: Измерение величин.

Прямая, Луч, Отрезок

Поверхность стола или поверхность воды в пруду (в безветренную погоду) может служить примером части плоскости.

Всю плоскость невозможно изобразить потому, что она бесконечна, но её можно представить себе.

в Если согнуть лист бумаги, то линия сгиба будет частью прямой линии. Коротко частью прямой.

Прямая не имеет ни начала, ни конца —- она бесконечна. На рисунке всегда изображается только часть прямой, которую проводят с помощью линейки.

Прямую обозначают одной строчной (малой) латинской буквой, например (рис. 37), и читают: «прямая эль». Точки обозначают заглавными (большими) латинскими буквами, например А, В, С (рис. 37).

Рис. 38 Отметим на прямой две различные точки С и D (рис. 38). Тогда эту прямую называют также «прямая CD».

Через любые две точки можно провести только одну прямую. Отсюда следует, что две различные прямые могут пересекаться только в одной точке.

Две различные прямые на плоскости могут и не пересекаться, сколько бы их ни продолжали. Такие прямые называют параллельными.

Если прямые АВ и CD рис. 39 параллельны, то это обозначают так: АВ П CD (рис. 39).

На рисунке 40 показано, как с помощью угольника и линейки провести параллельные прямые.

Точка А, лежащая на прямой, делит её на две части (рис. 41). Каждую из этих частей называют лучом с началом в точке А.

Луч, так же как и прямую, обозначают двумя заглавными буквами. При этом на первом месте ставится буква, обозначающая начало луча, а на втором — буква, обозначающая какую-либо другую его точку: луч АВ (рис. 42). Луч с началом в точке А (рис. 43) можно рис. 40 обозначить и АВ, и АС.

Часть прямой, ограниченную точками А и В, называют отрезком АВ. Точки А и В называют его концами (рис. 44). Отрезок с концами в точках А и В обозначают АВ или ВА.

Два отрезка АВ и CD называют равными отрезками, если они совмещаются при наложении (рис. 45). Пишут: АВ = CD. В частности, равны отрезки АВ и ВА.

Измерение отрезков

Ученик 5 класса и его сестра-десятиклассница подсчитали число шагов от школы до дома. Получилось, что одно и то же расстояние равно ЗОО шагам брата и 250 шагам сестры. Очевидно, что разные результаты получились из-за того, что сестра измеряла расстояние большими шагами, чем брат. В таких случаях говорят, что были использованы различные единицы измерения длины.

отрезок, длина которого принята за единицу измерения, называют единичным отрезком.

С его помощью измеряют произвольные отрезки. Возьмём, например, отрезок длиной 1 см в качестве единичного. Тогда измерение удобно производить при помощи сантиметровой линейки.

Пусть задан отрезок АВ, длину которого надо измерить. Приложим к нему шкалу сантиметровой линейки, совместив её нулевую точку О с концом отрезка А (рис. 50). Если при этом окажется, что точка В совпадает с делением шкалы — например, 5, то говорят, что длина отрезка АВ равна 5 см, и пишут: АВ = 5 см.

Рис. 50

Длину отрезка АВ называют ещё расстоянием между точками А и В. Отметим, что два равных отрезка имеют равные длины.

Понятно, что всякий отрезок имеет определённую длину, но длина не всякого отрезка в точности равна целому числу сантиметров. Если, приложив шкалу сантиметровой линейки к отрезку АВ так, что точка О совпадёт с точкой А, окажется, что точка В не совпадает с делением шкалы, то можно указать два деления, между которыми находится точка В, — например, 5 и 6 (рис. 51).

Рис. 51

В этом случае точная длина отрезка АВ осталась неизвестной. Однако известно, что 5 см см, при этом величины 5 см и б см отличаются от АВ не более чем на 1 см. их называют приближениями или приближёнными значениями длины АВ с точностью до 1 см и пишут: АВ ≈ 5 см, АВ≈ 6 см.

Знак ≈ называют знаком приближённого равенства и читают «приближённо равно».

В рассмотренном примере длина отрезка АВ приближённо равна 5 см с недостатком и 6 см с избытком с точностью до 1 см.

Однако ещё можно получить приближённую длину отрезка

с точностью до 1 см с округлением. Поясним эти слова.

Так как точка В расположена ближе к делению 6, то более точным приближением длины отрезка АВ является 6 см. В таком случае говорят, что длина отрезка АВ приближённо равна 6 см с округлением с точностью до 1 см.

Если же точка В оказалась бы ближе к делению 5, то мы сказали бы, что длина отрезка АВ приближённо равна 5 см с округлением с точностью до 1 см.

Остаётся ещё третий случай, когда точка В оказалась точно посередине между делениями линейки 5 и 6. В этом случае условились считать, что 6 см есть приближённая длина отрезка АВ с точностью до 1 см с округлением.

Знак называют знаком приближённого равенства и читают «приближённо равно».

Метрические единицы длины

В России и в большинстве стран мира за основную единицу длины принят метр.

Для измерения малых отрезков пользуются долями Метра:

дециметром, сантиметром и миллиметром.

Метр состоит из 10 дециметров: 1 м = 10 дм.

Дециметр состоит из 10 сантиметров: 1 дм = 10 см.

Сантиметр состоит из 10 миллиметров: 1 см = 10 мм.

1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм.

Примеры:

1. 2358 мм = 2 м З дм 5 см 8 мм —2 м 35 см 8 мм.
2. 15 м 48 см 4 мм = 15 м 4 дм 8 см 4 мм = 15 484 мм.

Для измерения больших расстояний введена единица длины километр, равная 1000 метрам:

1 км = 1000 м.

Очень большие расстояния — астрономические — выражают в виде степеней числа 10 или в виде произведения некоторого числа и степени числа 10. Например, радиус Солнца равен 700 ООО км = 7 • 10 ⁵ км, а среднее расстояние от Земли до Солнца равно 150 ООО ООО км = 15 • 10 ⁷ км.

Очень малые длины измеряют микронами и микромикронами:

1 мм = 1000 микрон, 1 микрон = 1000 микромикрон.

При измерении ещё меньших длин указывают, какую часть микрона они составляют.

Представление натуральных чисел на координатном луче

Числа удобно представлять точками прямой. Для этого задают луч, выходящий из точки О в направлении, отмеченном стрелкой, и отрезок, длину которого принимают за единицу. Этот отрезок называют единичным отрезком.

На луче от начальной точки О отложим один за другим несколько отрезков единичной длины (рис. 54). Будем считать, что точка О представляет число нуль, правый конец первого единичного отрезка — число 1, правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т. д.

Мы построили координатный луч. С его помощью натуральные числа и нуль изображаются точками. Начальную точку О называют нулевой точкой или точкой О (нуль). Говорят ещё, что точка О

Рис. 54 О 1 2 з 4 5 6 7

имеет координату О, и пишут О (О). Следующие точки называют соответственно: точка 1, точка 2 и т. д.

Координатный луч напоминает линейку, на которой отмечены числа О, 1, 2, З, 4, 5, 6, 7 и т. д., с той лишь разницей, что любая линейка ограничена (конечна), а координатный луч неограничен (бесконечен).

Невозможно полностью изобразить бесконечный координатный луч, но можно себе его представить (вообразить). Поэтому на координатной оси можно изобразить только несколько первых натуральных чисел.

Рис. 55

Произвольное натуральное число n изображается на координатном луче точкой, расстояние от которой до нулевой точки равно п единичным отрезкам. Эту точку называют точкой n или точкой с координатой n.

Например, на рисунке 55 отмечена точка А с координатой 5, пишут А (5). Длина отрезка ОА равна 5 единичным отрезкам. Обычно координатный луч располагают горизонтально и направляют слева направо. В этом случае точка, имеющая большую координату, расположена на координатном луче правее. Поэтому натуральные числа можно сравнивать при помощи координатного луча по правилу: