Решение задач на построение в курсе геометрии основной школы как средство развития логического мышления школьников

Одним из элементов воспитания личности является развитие логического мышления. Логическое мышление – вид мышления, сущность которого в ориентировании понятиями, суждениями и умозаключениями с использованием законов логики.

Исходя из требований ФГОС основного общего образования одной из важных задач обучения в школе является формирование у учащихся навыков осуществления логических операций, обучение их различным приемам логического мышления, вооружение знаниями логики и выработки у школьников умений и навыков использования этих знаний в учебной и практической деятельности. Этому служит математика и в первую очередь – геометрия. При правильно организованном обучении математики школьники весьма быстро приобретают навыки логического мышления, а также умение обобщать, классифицировать и аргументированно обосновывать свои выводы. Среди широкого круга задач, рассматриваемых в курсе геометрии, особое место занимают задачи на построение. Задача на построение – это задача, в которой требуется построить геометрический объект, пользуясь только двумя инструментами: циркулем и линейкой (односторонней и без делений). Такие задачи по своей постановке и методами решения самым хорошим образом способствуют накоплению точных геометрических суждений,пониманию учащимися происхождения различных геометрических фигур и возможности их преобразования, а также развитию у учащихся определенности, последовательности, обоснованности мышления. Всё вышеперечисленное является важной предпосылкой развития логического мышления школьников. Цель данного исследования: разработать методические рекомендации при решении задач на построение, способствующие развитию логического мышления учащихся.

Решить задачу на построение – значит найти алгоритм решения, то есть описать решение задачи в виде последовательности уже известных стандартных построений. Решением этой задачи является фигура, удовлетворяющая условиям. Решение задач на построение состоит из нескольких этапов. Еще в IV в. до н. э. древнегреческими геометрамибыла разработана общая схема решения задач на построение, которая остается актуальной и сейчас. Процесс решения задачи разбивают на 4 этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Наличие этих этапов показывает, что задачи на построениеявляются богатым материалом для выработки у учащихся навыков правильно мыслить и логически рассуждать, так как в ходе решения они имеют дело не с определенной фигурой, а их задачей является создание необходимой фигуры, подвергающейся различным изменениям в процессе решения. Устанавливая взаимосвязи между элементами данной фигуры, ученики видят, как с изменением одних элементов изменяются другие и даже вся фигура.

В настоящее время для многих педагогов и методистов является актуальным вопрос: «Как и на каком этапе обучения геометрии следует знакомить учащихся с общей схемой решения задач на построение?». Возникает два различных методических вопроса. Первый ­– с какого времени в преподавании геометрии при решении задач должны фактически производиться анализ, построение, доказательство, исследование? А второй вопрос – когда учащийся должен быть ознакомлен с логической схемой решения задачи?

Рассматривая первый вопрос, отметим, что построение лучше выбрать первым по времени вводимым элементом. Здесь построение понимается в смысле перечисления и описания тех или иных операций, то есть описание процесса употребления инструмента («прикладываем две ножки циркуля к точкам K и L, затем, не изменяя расстояния между ножками, помещаем одну из них в точку О» и т. п.). Далее отдельные операции просто называются («описываем из точки О окружность радиусом KL»). На последней ступени в качестве элементов построения выступают довольно сложные по своему выполнению, но хорошо известные учащимся задачи («построим треугольник по гипотенузе и катету», и т. п.). Исследование задачи лучше выбрать вторым моментом по времени появления в школьном курсе. Впервые элементы исследования появляются при решении задачи о построении треугольника по трем сторонам, в виде вопроса о том, можно ли выбрать все три стороны произвольно. Вскоре к этомуприбавляется знакомство с возможностью существования нескольких решений одной задачи. Этот момент имеет весьма большую значимость, так как слова «найти точку» обозначают требование «найти все точки, которые.» (а не просто «какую-либо точку, которая.»). Аналогично «построить прямую» – это «построить, все прямые, которые.» (а не просто «построить какую-либо прямую, которая.») и т. д.

Задачи на построения, имеющие более одного решения – первый случай, когда учащиеся встречаются в математике с такого рода выражениями, и оченьважным моментом является то, чтобы учащиеся привыкали к ним с самого начала, начиная с 7-8 класса, иначев дальнейшем неизбежнобудут возникать вопросы такого типа, как «зачем при извлечении корня брать оба знака».

Третий момент – доказательство правильности выполнения построения, который появляется приблизительно в одно время с элементами исследования. Например, уже в 7 классе задачао построение угла, равного данному, ставит вопрос о том, действительно ли построенный угол будет равен данному? В задачах, где правильность построения видна непосредственно, требовать проведения доказательства необязательно.Оказывается, даже сравнительно сложные задачи на построение могут оставляться без особого доказательства. Примером может служить задача, решаемая методом геометрических мест: построить треугольник по основанию, противолежащему углу и медиане, проведенной к основанию.

Этап анализа – последний по времени элемент решения, на который обращается внимание учащихся. Данный вид работы следует начать с обращения к ученикам, которые «придумали» то или иное решение задачи, с вопросом: «А как ты это решение нашел?». Затем постепенно надо подвести учащихся к мысли о том, чтобы фиксировать свое внимание на самом процессе отыскания метода решения, который и получает название анализа.

Все вышесказанное подтверждает, что при введении понятий анализа, построения, доказательства и исследования следует соблюдать с одной стороны, постепенность, а с другой стороны, – настойчивость в смысле многократного систематического обращения к одним и тем же вопросам.

Перейдем к рассмотрению второго вопроса – о введении в курсе геометрии схемы решения задач на построение, состоящей из четырех частей.

Изучение данного вопроса на том месте, на котором он поставлен в учебниках, следует считать несвоевременным и не достигающим цели, так как схема решения должна сообщаться учащимся значительно позднее. С начала изучения систематического курса геометрии в течении курса 7 класса до середины курса 8 класса учитель должен систематически, иногда даже незаметно для учеников знакомить их с элементами общей схемы решения. И только в 8 классе на примере специально подобранной задачи учитель полностью излагает учащимся всю схему решения. Задачу необходимо подобрать такую, чтобы она допускала один наиболее естественный ход решения (при анализе задачи мысль учащихся должна легко пойти по вполне определенному пути) и требовала исследования (неслишком сложное). Однако задача не должна быть слишком простой, чтобы способ решения не оказался для учащихся очевидным, а анализ задачи не показался им чем-то искусственным. Для этой цели подходят задачи, решаемые методом геометрических мест. Например, задача: «Построить треугольник по двум сторонам и острому углу, лежащему против одной из них» является хорошим примером для иллюстрации общей схемы решения задач на построение. Учащиеся делают чертеж произвольного треугольника, затем составляют план построения и при соответствующем выборе данных получают два решения. Они видят необходимость выполнения проверки, какой из полученных треугольников является искомым, то есть доказательства, а также необходимость исследования (всегда ли получим два решения?). В ходе решения данной задачи выделяются все этапы и очевидна их целесообразность. Учащиеся, владеющие основными построениями, не испытывают больших затруднений в оформлении решений.

После объяснения учащимся схемы решения задачи на построение, её следует придерживаться при решении всех дальнейших задач на построение.

Усвоение учащимися общей схемы решения задач на построение, с методической точки зрения, важно и при решении арифметических задач, и при решении задач на составление уравнений, так как мы пользуемся теми же четырьмя этапами, что и при решении задач на построение.

Одним существенным методическим вопросом является исследование задачи на построение. Как установить и перечислить все те случаи, имеющие существенное значение для решения данной задачи? Очень часто учащиеся при решении той или иной задачи, особенно на первых порах, пытаются исследовать ее, исходя из вопроса: «А что будет, если…», произвольно придумывая те или иные «если».Возникает необходимость приучать учащихся вести исследование по самому ходу построения. Чтобы исследовать задачу, надо еще раз перебрать в последовательном порядке те операции, из которых слагается построение, и для каждой из них определить, всегда ли она возможна, какое число точек, отрезков и т. д. эта операция может давать. Таким путем научиться исследованию задачи удается сравнительно легко.

Чтобы правильно проводить исследования нужно обладать хорошо развитым логическим мышлением. Следовательно, с другой стороны, исследование задач на построение является хорошим материалом для развития логического мышления учащихся.

Подводя итоги, сделаем вывод, чтоусвоение учащимися общей схемы решения задач на построение имеет большое значение. Каждый из этапов точно соответствует этапам любого логического рассуждения. При введении данных понятий следует соблюдать с одной стороны, постепенность, а с другой стороны, – настойчивость в смысле многократного систематического обращения к одним и тем же вопросам.Следовательно, изучению задач на построение необходимо уделять больше внимания, так как при грамотном использовании они являются мощным средством развития логического мышления учащихся.