Решение заданий "Клад Ацтеков" 5 класс

Решебник для 4-5 класса

Первая часть

Задача №1

Два апельсина весят столько, сколько 4 лимона, а один лимон, как три абрикоса. Сколько лимонов должно быть на левой чаше, чтобы весы были в равновесии, если на правой чаше 1 апельсин и 3 абрикоса?

Решение

Если 2 апельсина весят, как 4 лимона, то 1 апельсин весит, как 2 лимона. 3 абрикоса весят, как 1 лимон. Значит 1 апельсин и 3 абрикоса весят как 2+1=3 лимона.

Ответ: В. 3.

Задача №2

Когда Буратино врет, его нос удлиняется на 5 см, а когда он говорит правду его нос становится короче на 3 см. Утром длина его носа была 7 см. За день он 2 раза соврал и 3 раза сказал правду. Какой длины стал нос у Буратино к вечеру?

Решение

За день длина носа Буратино увеличилась на 5*2 – 3*3 = 1 см. Значит длина его носа к вечеру стала 7+1=8 см.

Ответ: Б. 8 см.

Задача №3

Коробку размером 10 х 15 х 20 см нужно наполнить одинаковыми кубиками. Какое минимальное количество кубиков позволит это сделать?

Решение

Для того, чтобы наполнить коробку одинаковыми кубиками, нужно чтобы длина, ширина и высота коробки делились на длину стороны кубика. Есть только 2 таких числа – 1 и 5. Чем больше длина стороны кубика, тем меньше кубиков потребуется, значит наполнять коробку мы будем кубиками со стороной 5. Осталось посчитать, сколько их потребуется. Их нужно будет (10/5)*(15/5)*(20/5)=2*3*4 = 24.

Ответ: В. 24.

Задача №4

На скамейке сидят Катя, её мама, папа и плюшевый мишка. Папа сидит рядом с дочкой, но не рядом с мишкой. Мишка не сидит рядом с мамой. Кто сидит рядом с мамой Кати?

Решение

Заметим, что мишка сидит не рядом с папой и не рядом с мамой, значит он сидит рядом с Катей, а так как у него ровно один сосед, значит он сидит с краю, а рядом с ним Катя. На втором соседнем с Катей месте должен сидеть папа, осталось одно место рядом с папой – для мамы. Значит рядом с мамой сидит папа.

Ответ: Б. Папа.

Задача №5

В некотором месяце три четверга пришлись на чётные числа. Каким днём недели было 20 число этого месяца?

Решение

Четверги бывают раз в 7 дней, значит четверги, пришедшиеся на чётные числа бывают раз в 14 дней. Первое чётное число – 2, если это четверг, то остальные четверги будут 9, 16, 23 и 30 числа. Если это не четверг, то первый четверг будет как минимум 4 числа, тогда последний должен быть как минимум 32, но месяцев с таким количеством дней не бывает. Значит 2 число этого месяца – четверг, а значит 20 число – понедельник.

Ответ: А. понедельник.

Задача №6

Старые часы отстают на 30 секунд в час. Сколько времени они покажут через сутки после того, как стрелки установили на 12 часов?

Решение

В сутках 24 часа, значит за сутки часы отстанут на 30*24 секунд, что равняется 12 минутам. Значит вместо 12 часов, часы покажут на 12 минут меньше – 11.48.

Ответ: Г. 11.48.

Задача №7

Из книги выпал кусок, первая страница которого имеет номер 165, а номер последней состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Сколько листов выпало из книги?

Решение

Номер последней страницы должен быть чётным, потому что каждый лист – это 2 страницы. Значит последняя цифра последней страницы – 6. Номер последней страницы больше номера первой страницы. Значит последняя страница имеет номер 516. Количество выпавших листов равно (516 – 165+1)/2 = 176.

Ответ: А. 176.

Задача №8

В клетку посадили 20 страшных зверей крокомотов, которые поедают друг друга.

Крокомот считается сытым, если он съел трех других крокомотов (неважно сытых или голодных). Какое наибольшее число крокомотов может насытиться? (при этом оставаться живыми им не обязательно)

Решение

После того, как один из крокомотов насыщается, общее количество крокомотов уменьшается на 3. То есть насытиться может не больше 20/3 = 6 (ост. 2) крокомотов. Покажем, что 6 крокомотов действительно смогут насытиться. Пронумеруем всех крокомотов от 1 до 20. Пусть сначала 17ый зверь съел 18го, 19го и 20го и насытился. Затем 14ый съел 15го, 16го и 17го. 11ый съел 12го, 13го и 14го. 8ой съел 9го, 10го и 11го. 5ый съел 6го, 7го и 8го. 2ой съел 3го, 4го и 5го. Таким образом насытились 6 крокомотов: 17й, 14й, 11й, 8ой, 5й и 2ой, а живы остались только 2ой и 1ый.

Ответ: Б. 6.

Задача №9

В квадратной коробке в 2 слоя уложены одинаковые квадратные шоколадки. Паша съел все 20 шоколадок, которые лежали в верхнем слое вдоль стенок коробки. Сколько шоколадок было в этой коробке изначально?

Решение

Заметим, что количество шоколадок в слое вдоль стенок коробки равно учетверенной длине стороны коробки минус 4. То есть четыре стороны коробки равны 24. Сторона коробки равна 6. (Длина верхнего слоя равняется 6*6 - 4*4=20). Значит в одном слое помещается 6*6=36 шоколадок. Слоев 2, значит всего шоколадок было 36*2=72.

Ответ: В. 72.

Задача №10

Мать положила на стол конфеты и сказала своим трем детям, чтобы они, вернувшись из школы, разделили их поровну. Первой пришла Нина, она взяла треть конфет и ушла. Потом вернулся Толя, он взял треть конфет от лежавших на столе и тоже ушел. Потом вернулся Вова и тоже взял треть от конфет, которые увидел на столе. Сколько конфет оставила детям мама, если Вова взял 4 конфеты?

Решение

Будем анализировать с конца. Вова взял 4 конфеты, что составляло треть от лежащих на столе, то есть к его приходу на столе оставалось 4*3=12 конфет. Толя взял треть, оставшихся к его приходу конфет, после чего их осталось 12. Значит Толя взял себе 6 конфет, а к его приходу на столе было 18 конфет. Нина взяла треть, оставшихся к ее приходу конфет, после чего их осталось 18. Значит Нина взял себе 9 конфет, а мама оставила им 27 конфет.

Ответ: А. 27.

Вторая часть

Задача №1

Табло электронных часов показывает 15:17. Какое время будут показывать электронные часы в следующий раз, когда сумма часов и минут будет такой же?

Решение

Сумма часов и минут сейчас равна 32. В четвертом часу дня такой суммы больше не будет, потому что 32-15=17. В пятом часу, количество минут должно равняться 32-16=16. То есть следующее такое время – 16.16.

Ответ: 16.16.

Задача №2

Какое наименьшее 10-значное число можно получить, записывая шесть чисел 414, 18, 2, 9, 56 и 4 одно за другим?

Решение

Для составления десятизначного числа будут задействованы все шесть исходных чисел. Число тем меньше, чем меньше цифра стоящая на первом месте. Значит первым в записи будет стоять число 18. Дальше нам опять нужно выбрать число, которое начинается на меньшую из цифр – это 2. Дальше у нас есть 2 числа начинающихся на 4 – 4 и 414, нам нужно ставить сначала 414, так как тогда 5-ой цифрой числа будет 1, а не 4, 5 или 9. После 4 мы ставим число 56, а последним 9. Получается число 1824144569.

Ответ: 1824144569.

Задача №3

Расшифруйте комбинацию кодового замка, состоящую из четырех цифр, если третья цифра на 4 больше, чем первая, вторая цифра на 2 меньше, чем четвёртая, в сумме все цифры дают число 16, вторая цифра 4.

Решение

Мы знаем, что вторая цифра 4, и она на 2 меньше, чем четвёртая, значит четвёртая цифра – 6. В сумме они дают 10, значит первая и третья цифры в коде в сумме дают 6, при этом третья цифра на 4 больше, чем первая. Значит первая цифра – 1, а третья – 5. Тогда весь код – 1456.

Ответ: 1456.

Задача №4

На фабрике конфеты распаковали в коробки по 3 и 5 кг. Всего получилось 24 коробки. Вес всех коробок по 5 кг равен весу всех коробок по 3 кг. Сколько было коробок по 3 кг?

Решение

Вес в килограммах всех коробок по 5 кг делится на 3, потому что равен весу всех коробок по 3 кг. Отсюда следует, что количество коробок по 5 кг делится на 3. Аналогично, количество коробок по 3 кг делится на 5. Мы знаем, что всего коробок 24, а коробок по 3 кг. больше, чем коробок по 5 кг., потому что они легче, а иначе бы их суммарные веса не равнялись бы. Значит, коробок по 3 кг. больше половины (12), меньше 24 и делится на 5. Есть 2 таких числа – 15 и 20, проверим их.

Если коробок по 3 кг. - 15, то их суммарный вес 45 кг., тогда количество коробок по 5 кг. – 9, а их суммарный вес тоже 45 кг.

Если коробок по 3 кг. - 20, то их суммарный вес 60 кг., тогда количество коробок по 5 кг. – 4, а их суммарный вес тоже 20 кг., такой вариант не подходит.

Значит коробок по 3 кг. было 15.

Ответ: 15.

Задача №5

Если поместить каждую из цифр 1,2,5,7,8 ровно в один из прямоугольников данного примера на сложение, то какая наименьшая сумма может получиться?

Решение

Заметим, что в итоговой сумме цифра, которая стоит на месте сотен (первая цифра первого числа) умножается на 100, так как это число сотен; цифра, которая стоит на втором месте первого числа, умножается на 10, так как это число десятков; первая цифра второго числа тоже умножается на 10; а последние числа обоих чисел ни на что не умножаются, так как это количество единиц. То есть чем меньше будет цифра на первом месте, тем меньше будет сумма. Значит первое число должно начинаться с 1. Аналогично, чем меньше цифры, стоящие в десятках, тем меньше само число. Поэтому 2 и 5 должны стоять в разрядах десятков, а 7 и 8 в разрядах единиц. То есть общая сумма будет 1*100+2*10+5*10+7+8 = 185.

Ответ: 185.

Третья часть

Задача №1

Можно ли разбить числа 1, 2, 3, …, 13 на три группы так, чтобы ни в какой из групп не нашлось таких трех чисел, что сумма двух из них равна третьему?

Решение

Можно. В первую группу возьмем числа 1,2 и 4. (Сумма двух самых маленьких чисел больше самого большого, значит ни одна из сумм двух чисел в группе не встретится). Во вторую группу попадут числа 3, 5, 6 и 7. (Сумма двух самых маленьких чисел опять больше самого большого.) В третью группу попадут оставшиеся числа 8, 9, 10, 11, 12 и 13. (8+9 больше 13, а значит условие опять соблюдается).

Ответ: можно так 1, 2, 4; 3, 5, 6, 7; остальные.

Задача №2

Расставьте в ряд числа от 1 до 30 так, чтобы любые два соседних отличались по крайней мере на 15.

Решение

16 1 17 2 18 3 19 4 20 5 21 6 22 7 23 8 24 9 25 10 26 11 27 12 28 13 29 14 30 15. Также можно расставить числа в обратном порядке.

Ответ: 16 1 17 2 18 3 19 4 20 5 21 6 22 7 23 8 24 9 25 10 26 11 27 12 28 13 29 14 30 15.

Задача №3

В кучке – 100 спичек. Двое по очереди делают ходы. За один ход можно взять из кучки любое нечетное число спичек, меньшее 20, причем запрещается повторять уже сделанные ходы – как свои, так и соперника (то есть, если кто-то очередным ходом взял какое-то число спичек, то в дальнейшем ни он, ни его соперник, брать такое число спичек не могут). Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто делает первый ход, или его соперник, и как надо играть, чтобы выиграть?

Решение

Заметим, что 100 – это сумма всех различных нечётных чисел от 1 до 19, а так как повторять уже сделанные ходы нельзя, то в итоге все ходы от 1 до 19 будут сделаны. Всего ходов 10, а значит последним сделает ход второй игрок и выиграет.

Ответ: второй выигрывает при любой игре.

Задача №4

Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков меньше цифры единиц?

Решение

Наше число может начинаться на любую цифру от 1 до 8. Если оно начинается на 1, то заканчиваться может на любую цифру от 2 до 9, то есть таких чисел 8. Чисел, начинающихся на 2 – 7 (заканчиваются на цифры от 3 до 9), и так далее. Ровно одно подходящее число, начинающееся на 8 – 89, подходящих чисел, начинающихся на 9 нет. То есть всего таких чисел 8+7+6+5+4+3+2+1=36.

Ответ: 36.

Задача №5

Мила задумала натуральное число. Даша умножила не то на 5, не то на 7. Костя прибавил к результату Даши 7. Алена вычла из результата Кости 4. В итоге получилось 68. Какое число задумала Мила?

Решение

Проанализируем с конца. Алена вычла из числа 4 и получила 68, это значит, что у Кости получилось число 4+68=72. Костя прибавил к числу 7 и получил 72, значит у Даши получилось число 72-7=65. 65 делится на 5, но не делится на 7, значит Даша умножала на 5, а это значит, что Мила задумала число 65:5=13.

Ответ: 13.