Свойства интересные и удивительные.

В волшебном мире чисел

В мире чисел нередко встречаются удивительные равенства и соотношения. Вот некоторые из них.

Симметричные произведения

Взгляните на следующие равенства:

12 ? 42= 24 ? 21,

102? 402= 204 ?201,

1002 ?4002=2004 ?2001,

10002? 40002=20004? 20001.

Замечательная симметрия – не правда ли? Этот ряд неравенств можно продолжить – стоит лишь заметить, что

( +2) ?(4? +2)=(2? +4)?(2? +1).

(При п=1,2,3,4 получаются наши равенства.)

«Стойкие» квадратные числа

Кто не знает, что 121 – «квадратное число»: оно равно. Интересно, что это число обладает некоторой «стойкостью» - является квадратным не только в десятичной, но и в любой другой системе счисления, основание которой больше двух.

В самом деле, пусть основание системы счисления равно а и а :

=1? +2?а+1=(,

то есть есть квадрат числа, полученного прибавлением единицы к основанию системы.

Возведение в квадрат

Посмотрите, как оригинально можно возвести в квадрат числа 44, 55, 66:

16 25 36

+ 1616 + 2525 + 3636

16 25 36

1936 3025 4356

Подобным же образом можно найти,. А всё здесь упирается в равенство

В самом деле, например, для имеем

=( =16? 121=16? (10+101+10)=160+1616+160.

Полученный результат можно представить в виде вышеприведённой первой записи.

Аналогично, если воспользоваться равенством

=12321=100+1010+10101+11010+100,

можно установить своеобразный способ возведения в квадрат некоторых трёхзначных чисел. Например,

=( =25·12321=25(100+1010+10101+100)=

2500+25250+252525+25250+2500).

На основании полученных равенств можем написать

25 36

2525 3636

+ 252525 + 363636

2525 3636

25 36

308025 443556

Этот оригинальный способ можно применять и для нахождения квадратов четырёхзначных, пятизначных,… чисел рассмотренного типа.

Необычные вычисления

Числовые треугольники

5 8 7

+ 65 48 17

465 + 648 417

9465 96 48 3417

19465 89648 53417

29465 18 9648 453417

289648 7453417

67453417

567453417

3567453417

73567453417

77777777777

Числовая пирамида

1 8+1=9

12 8+2=98

123 8+3=987

1234 8+4=9876

12345 8+5=98765

123456 8+6=987654

1234567 8+7=9876543

12345678 8+8=98765432

123456789 8+9=987654321

Удивительные равенства

Существуют числа, обладающие интересным свойством:

если переставить цифры числа в обратном порядке, то квадрат вновь образованного числа получится, если в квадрат первоначально заданного числа также записать цифры в обратном порядке. Например:

=144; =441; =12769;

=10404, =40401. =96761.

Занятное расчленение чисел

= 82 + = 100 – 9

= 116 - = 100 + 8

= 368? - = 200 – 8

= 436? - = 200 + 9

= 846? + = 300 – 9

= 954? - = 300 + 9

В волшебном мире чисел

В мире чисел нередко встречаются удивительные равенства и соотношения. Вот некоторые из них.

Симметричные произведения

Взгляните на следующие равенства:

12 ? 42= 24 ? 21,

102? 402= 204 ?201,

1002 ?4002=2004 ?2001,

10002? 40002=20004? 20001.

Замечательная симметрия – не правда ли? Этот ряд неравенств можно продолжить – стоит лишь заметить, что

( +2) ?(4? +2)=(2? +4)?(2? +1).

(При п=1,2,3,4 получаются наши равенства.)

«Стойкие» квадратные числа

Кто не знает, что 121 – «квадратное число»: оно равно. Интересно, что это число обладает некоторой «стойкостью» - является квадратным не только в десятичной, но и в любой другой системе счисления, основание которой больше двух.

В самом деле, пусть основание системы счисления равно а и а :

=1? +2?а+1=(,

то есть есть квадрат числа, полученного прибавлением единицы к основанию системы.

Возведение в квадрат

Посмотрите, как оригинально можно возвести в квадрат числа 44, 55, 66:

16 25 36

+ 1616 + 2525 + 3636

16 25 36

1936 3025 4356

Подобным же образом можно найти,. А всё здесь упирается в равенство

В самом деле, например, для имеем

=( =16? 121=16? (10+101+10)=160+1616+160.

Полученный результат можно представить в виде вышеприведённой первой записи.

Аналогично, если воспользоваться равенством

=12321=100+1010+10101+11010+100,

можно установить своеобразный способ возведения в квадрат некоторых трёхзначных чисел. Например,

=( =25·12321=25(100+1010+10101+100)=

2500+25250+252525+25250+2500).

На основании полученных равенств можем написать

25 36

2525 3636

+ 252525 + 363636

2525 3636

25 36

308025 443556

Этот оригинальный способ можно применять и для нахождения квадратов четырёхзначных, пятизначных,… чисел рассмотренного типа.

Необычные вычисления

Числовые треугольники

5 8 7

+ 65 48 17

465 + 648 417

9465 96 48 3417

19465 89648 53417

29465 18 9648 453417

289648 7453417

67453417

567453417

3567453417

73567453417

77777777777

Числовая пирамида

1 8+1=9

12 8+2=98

123 8+3=987

1234 8+4=9876

12345 8+5=98765

123456 8+6=987654

1234567 8+7=9876543

12345678 8+8=98765432

123456789 8+9=987654321

Удивительные равенства

Существуют числа, обладающие интересным свойством:

если переставить цифры числа в обратном порядке, то квадрат вновь образованного числа получится, если в квадрат первоначально заданного числа также записать цифры в обратном порядке. Например:

=144; =441; =12769;

=10404, =40401. =96761.

Занятное расчленение чисел

= 82 + = 100 – 9

= 116 - = 100 + 8

= 368? - = 200 – 8

= 436? - = 200 + 9

= 846? + = 300 – 9

= 954? - = 300 + 9

В волшебном мире чисел

В мире чисел нередко встречаются удивительные равенства и соотношения. Вот некоторые из них.

Симметричные произведения

Взгляните на следующие равенства:

12 ? 42= 24 ? 21,

102? 402= 204 ?201,

1002 ?4002=2004 ?2001,

10002? 40002=20004? 20001.

Замечательная симметрия – не правда ли? Этот ряд неравенств можно продолжить – стоит лишь заметить, что

( +2) ?(4? +2)=(2? +4)?(2? +1).

(При п=1,2,3,4 получаются наши равенства.)

«Стойкие» квадратные числа

Кто не знает, что 121 – «квадратное число»: оно равно. Интересно, что это число обладает некоторой «стойкостью» - является квадратным не только в десятичной, но и в любой другой системе счисления, основание которой больше двух.

В самом деле, пусть основание системы счисления равно а и а :

=1? +2?а+1=(,

то есть есть квадрат числа, полученного прибавлением единицы к основанию системы.

Возведение в квадрат

Посмотрите, как оригинально можно возвести в квадрат числа 44, 55, 66:

16 25 36

+ 1616 + 2525 + 3636

16 25 36

1936 3025 4356

Подобным же образом можно найти,. А всё здесь упирается в равенство

В самом деле, например, для имеем

=( =16? 121=16? (10+101+10)=160+1616+160.

Полученный результат можно представить в виде вышеприведённой первой записи.

Аналогично, если воспользоваться равенством

=12321=100+1010+10101+11010+100,

можно установить своеобразный способ возведения в квадрат некоторых трёхзначных чисел. Например,

=( =25·12321=25(100+1010+10101+100)=

2500+25250+252525+25250+2500).

На основании полученных равенств можем написать

25 36

2525 3636

+ 252525 + 363636

2525 3636

25 36

308025 443556

Этот оригинальный способ можно применять и для нахождения квадратов четырёхзначных, пятизначных,… чисел рассмотренного типа.

Необычные вычисления

Числовые треугольники

5 8 7

+ 65 48 17

465 + 648 417

9465 96 48 3417

19465 89648 53417

29465 18 9648 453417

289648 7453417

67453417

567453417

3567453417

73567453417

77777777777

Числовая пирамида

1 8+1=9

12 8+2=98

123 8+3=987

1234 8+4=9876

12345 8+5=98765

123456 8+6=987654

1234567 8+7=9876543

12345678 8+8=98765432

123456789 8+9=987654321

Удивительные равенства

Существуют числа, обладающие интересным свойством:

если переставить цифры числа в обратном порядке, то квадрат вновь образованного числа получится, если в квадрат первоначально заданного числа также записать цифры в обратном порядке. Например:

=144; =441; =12769;

=10404, =40401. =96761.

Занятное расчленение чисел

= 82 + = 100 – 9

= 116 - = 100 + 8

= 368? - = 200 – 8

= 436? - = 200 + 9

= 846? + = 300 – 9

= 954? - = 300 + 9

Свойства интересные и удивительные.

Некоторые приёмы устных вычислений.

В своей работе я использую различные способы быстрых вычислений. Они развивают память учащихся, быстроту их реакции, воспитывают умение сосредоточиться. Навыки устных вычислений являются важным элементом общего и математического развития. Устные упражнения в сочетании с другими видами упражнений способствуют активизации мыслительной деятельности, развитию логического мышления, сообразительности, памяти, творческих начал и волевых качеств. Проведение устных упражнений повышает интерес к математике, развивает внимание, наблюдательность и смекалку учащихся, способствует более прочному усвоению программы, помогает учителю дисциплинировать учащихся, воспитывать у них навыки самостоятельности, умение ценить время.

В целях выработки прочных навыков рекомендуется проводить устные вычисления на применение особых приёмов не реже одного раза в неделю. В начале занятий учитель проводит устные упражнения по материалу, заданному для повторения. После изложения новой темы уместно предложить учащимся устные задания на выработку умений и навыков по этой теме.

Устные упражнения проводятся не только в начале урока, но и в середине урока.

Во время устного счёта учитель вырабатывает у учащихся полезные навыки,

Определяет знания по той или иной теме, принимает меры для устранения замеченных недостатков, ставит ученикам оценки, которые проявили активность в работе, инициативу, самостоятельность и оригинальность мышления.

Устным вычислениям, как одной из форм обучения математике, в советской школе всегда отводилось должное место.

Устному счёту уделял большое внимание известный русский деятель в области просвещения доктор естественных наук Сергей Александрович Рачинский (1832 – 1902). Одним из его учеников и был будущий художник – академик Коля Богданов – Бельский. Он потом писал: «На дорогу меня вывел вот он… Удивительный человек, учитель жизни. Я всем ему обязан».

С.А.Рачинский обращал на то, что способность к умственному (устному ) счёту полезна и в отношении практическом, и как средство для здоровой умственной гимнастики. Он всегда учил детей решать быстро, оригинально,

красиво; учил видеть неожиданные, особые свойства чисел и соотношения между ними.

Пример:

84 84=(7 12) (7 12)=49 144=50 1 144)=7200-144=7056

Каждый из вас видел репродукцию с талантливой картины художника Устный счёт в народной школе с.А.Рачинского».

Сергей Александрович был одним из выдающихся профессоров Московского университета. Его глубоко волновала тяжёлая судьба русского крестьянина. В 1875 учёный едет в село Татево Смоленской губернии и открывает народную школу, в которой обучает крестьянских детей. В картине «Устный счёт» художник хорошо передал урок математики своего ученика. На доске пример:

+ + + + :365.

Решите его устно.

+ + = +

Б.А. Кордемский в книге «Математическая шкатулка» писал:

«Покопайтесь в огромном месиве чисел, которых больше, чем руды в земле, и вы найдёте свойства интересные и удивительные, диковинные и забавные, неожиданные и курьезные».

Привитие ученикам элементов поисковой, творческой работы положительно сказывается на формирование их личности.