Уравнение касательной

Касательная к графику функции

Составление уравнения касательной к графику функции является одной из наиболее трудных задач из заданий конкурсных вступительных испытаний по математике. При решении таких задач требуются начальные знания дифференциального исчисления, а также умение дифференцировать элементарные аналитические функции.

В данной статье сначала приводятся формулы для составления уравнения касательной к графику некоторой функции в заданной точке, а затем рассматриваются примеры решения задач на заданную тему, расположенных в порядке возрастания их сложности.

Основные понятия и определения

В общем случае уравнение прямой на плоскости записывается как , где некоторые константы. График функции приведен на рис. 1. Причем здесь . Если , то будет уравнением прямой, параллельной числовой оси

Пусть имеются две прямые, заданные уравнениями и . Если , то данные прямые являются параллельными.

Для того, чтобы эти прямые были взаимно перпендикулярны, требуется выполнение условия .

В частности, прямые и являются параллельными, а прямые и будут взаимно перпендикулярны.

Уравнение касательной

Пусть некоторая функция, дифференцируемая в точке . На графике функции , который приведен на рис. 2, выделена точка , где . Прямая является секущей, а касательная есть предельное положение секущей при условии, что точка стремится к точке .