2023 ЕГЭ Январь Математика Вариант 1

1. Тип 1 № 27859 

Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

2. Тип 2 № 27125 

Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

3. Тип 3 № 1024 

На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней. Юля наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

4. Тип 4 № 320174 

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

5. Тип 5 № 26647 

Найдите корень уравнения 

6. Тип 6 № 26782 

Найдите значение выражения 

7. Тип 7 № 40130 

На рисунке изображен график производной функции  Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику  параллельна прямой  или совпадает с ней.

8. Тип 8 № 27994 

Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре  Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением  Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе  кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением  (с), где  − постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 21 с. Ответ дайте в киловольтах.

9. Тип 9 № 99599 

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

10. Тип 10 № 508903 

На рисунке изображён график функции  Найдите значение x, при котором 

11. Тип 11 № 503145 

Найдите точку максимума функции 

12. Тип 12 № 507572 

а)  Решите уравнение 

б)  Найдите решения уравнения, принадлежащие отрезку 

13. Тип 13 № 520190 

Прямоугольник ABCD и цилиндр расположены таким образом, что AB  — диаметр верхнего основания цилиндра, а CD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности, при этом плоскость прямоугольника наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.

а)  Докажите, что ABCD  — квадрат.

б)  Найдите длину той части отрезка BD, которая находится снаружи цилиндра, если радиус цилиндра равен 

14. Тип 14 № 505567 

Решите неравенство: 

15. Тип 15 № 508604 

При рытье колодца глубиной свыше 10 м за первый метр заплатили 1000 руб., а за каждый следующий на 500 руб. больше, чем за предыдущий. Сверх того за весь колодец дополнительно было уплачено 10 000 руб. Средняя стоимость 1 м оказалась равной 6250 руб. Определите глубину колодца.

16. Тип 16 № 513922 

Прямая, проходящая через вершину В прямоугольника ABCD, перпендикулярна диагонали АС и пересекает сторону АD в точке M, равноудаленной от вершин В и D. 

а)  Докажите, что BM и ВD делят угол В на три равных угла.

б)  Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD до прямой СМ, если 

17. Тип 17 № 484634 

При каких значениях параметра a для любых значений параметра b хотя бы при одном значении параметра с система уравнений

имеет решения?

18. Тип 18 № 502079 

Каждое из чисел a₁, a₂, …, a₃₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

S₁  =  a₁+a₂+...+a₃₅₀,

S₂  =  a₁²+a₂²+...+a₃₅₀²,

S₃  =  a₁³+a₂³+...+a₃₅₀³,

S₄  =  a₁⁴+a₂⁴+...+a₃₅₀⁴.

Известно, что S₁ = 513.

а)  Найдите S₄, если еще известно, что S₂  =  1097, S₃  =  3243.

б)  Может ли S₄  =  4547 ?

в)  Пусть S₄  =  4745. Найдите все значения, которые может принимать S₂.