25.4.Еще пример задания

Некоторый сегмент сети Интернет состоит из 1000 сайтов. Поисковый сервер в автоматическом режиме составил таблицу ключевых слов для сайтов этого сегмента. Вот ее фрагмент:

Сколько сайтов будет найдено по запросу

(принтер | сканер) & монитор

если по запросу принтер | сканер было найдено 450 сайтов, по запросу принтер & монитор – 40, а по запросу сканер & монитор – 50.

Решение (вариант 1, использованием свойств операций «И» и «ИЛИ»):

1. обратим внимание на такой факт¹ (справа указано количество сайтов по каждому запросу)

сканер 200

принтер 250

принтер | сканер 450

п оскольку последнее число равно сумме двух предыдущих, можно сразу же придти к выводу, что в этом сегменте сети нет сайтов, на которых ключевыми словами являются одновременно принтер и сканер:

принтер & сканер 0

диаграмма Эйлера для этого случая показана на рисунке справа:

1. с этого момента все просто: для того, чтобы определить, сколько сайтов удовлетворяют заданному условию

достаточно просто сложить числа, соответствующие запросам принтер & монитор и
сканер & монитор

1. таким образом, правильный ответ: 40 + 50 = 90.

Решение (вариант 3, таблицы истинности):

1. для сокращения записи обозначим через C, П, М высказывания «ключевое слово на сайте – сканер» (соответственно принтер, монитор)

2. если рассматривать задачу с точки зрения математической логики, здесь есть три переменных, с помощью которых можно составить всего 8 запросов, выдающих различные результаты

3. 	С	П	М
   ?	0	0	0
   ?	0	0	1
   ?	0	1	0
   ?	0	1	1
   ?	1	0	0
   ?	1	0	1
   ?	1	1	0
   ?	1	1	1
   всего	200	250	450

   составим таблицу истинности, в которую добавим левый столбец и последнюю строку, где будем записывать количество сайтов, удовлетворяющих условиям строки и столбца (см. рисунок справа); например, первая строка соответствует сайтам, на которых нет ни одного из заданных ключевых слов; такая схема непривычна, но она существенно упрощает дело

4. сумма в последней строчке получается в результате сложения всех чисел из тех строк первого столбца, где в данном столбце стоят единицы. Например, сумма в столбце С – складывается из четырех чисел в последних четырех строчках первого столбца. Мы пока не знаем, сколько результатов возвращает каждый из восьми запросов отдельно, поэтому в первом столбце стоят знаки вопроса

5. добавим в таблицу истинности остальные запросы, которые есть в условии, в том числе и тот, который нас интересует:

П | С = принтер | сканер 450

П & М = принтер & монитор 40

C & М = сканер & монитор 50

(П | C) & М = (принтер | сканер) & монитор ?

1. проанализируем столбец П | С в этой таблице: его сумма (450) складывается из суммы столбцов С (200) и П (250) – выделены ярким зеленым цветом – плюс последние две строчки (голубой фон), то есть, 450 = 200 + 250 + X, откуда сразу получаем, что X = 0, то есть, последним двум строчкам (запросам) не удовлетворяет ни одного сайта

2. теперь составим таблицы истинности для остальных запросов, отбросив заведомо «нулевые» варианты:

из оставшихся шести строк таблицы запросы П & М и С & М затрагивают только по одной строчке, поэтому сразу можем вписать соответствующие числа в первый столбец; в последнем запросе, который нас интересует, присутствуют именно эти две строки, то есть, для получения нужно сложить 40 и 50

1. таким образом, правильный ответ: 40 + 50 = 90.

Р ешение (вариант 3, через диаграммы и систему уравнений):

1. для сокращения записи обозначим через C, П, М высказывания «ключевое слово на сайте – сканер» (соответственно принтер, монитор) и нарисуем эти области виде диаграммы (кругов Эйлера); интересующему нас запросу (П | C) & M соответствует объединение областей 4, 5 и 6 («зеленая зона» на рисунке)

2. количество сайтов, удовлетворяющих запросу в области i, будем обозначать через N_i

3. составляем уравнения, которые определяют запросы, заданные в условии:

сканер N₁ + N₂ + N₄ + N₅ = 200

принтер N₂ + N₃ + N₅ + N₆ = 250

принтер | сканер N₁ + N₂ + N₄ + N₅ + N₃ + N₆ = 450

из первого и третьего уравнений сразу следует

200 + N₃ + N₆ = 450  N₃ + N₆ = 250

далее из второго уравнения

N₂ + N₅ + 250 = 250  N₂ + N₅ = 0

поскольку количество сайтов не может быть отрицательной величиной, N₂ = N₅ = 0

1. посмотрим, что еще мы знаем (учитываем, что N₅ = 0):

принтер & монитор N₅ + N₆ = 40  N₆ = 40

сканер & монитор N₄ + N₅ = 50  N₄ = 50

1. окончательный результат:

(принтер | сканер) & монитор N₄ + N₅ + N₆ = N₄ + N₆ = 40 + 50 = 90

1. таким образом, правильный ответ 90.

1^ Как мы увидим далее, при использовании других методов решения, это условие принципиально облегчает решение данной задачи. Во всех известных автору вариантах подобных задач такое упрощающее условие было.