28.1.Ещё пример задания

Сколько различных решений имеет система логических уравнений

(x₁  x₂)  (x₁  x₃)  (x₂  x₃) = 0

(x₃  x₄)  (x₃  x₅)  (x₄  x₅) = 0

(x₅  x₆)  (x₅  x₇)  (x₆  x₇) = 0

(x₇  x₈)  (x₇  x₉)  (x₈  x₉) = 0

где x₁, x₂, …, x₉ – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Решение (последовательное включение уравнений):

1. заметим два важных момента:

1. все 4 уравнения – однотипные

2. первое связано со вторым только через переменную x₃, второе с третьим – только через x₅, третье с четвертым – только через x₇

1. разберем подробно одно первое уравнение; поскольку в нем используется операция И (конъюнкция) и правая часть равна нулю (ложное значение), имеет смысл проверить ситуации, когда первое уравнение истинно: это будет тогда, когда x₂  x₃, а x₁ не равно этому значению, то есть в двух случаях: (x₁,x₂,x₃)=(1,0,0) и (x₁,x₂,x₃)=(0,1,1)

2. поскольку логическое уравнение с тремя переменными может иметь не более 8 = 2³ решений, вычитаем два решения из этого количества и находим, что первое уравнение имеет 8 – 2 = 6 решений, причем в трёх из них x₃ = 0, а в трёх других x₃ = 1.

3. подключаем второе уравнение: для каждого из трёх решений первого при x₃ = 0 получаем три решения второго, и для каждого из трёх решений первого при x₃ = 1 получаем ещё три решения второго, всего система из двух уравнений имеет 3*3 + 3*3 = 18 решений

4. далее продолжаем таблицу:

   число уравнений	решений
   1	3(при x3= 0) + 3(при x3= 1) = 6
   2	3*3 + 3*3 = 9(при x5= 0) + 9(при x5= 1) = 18
   3	9*3 + 9*3 = 27(при x7= 0) + 27(при x7=1) = 54
   4	27*3 + 27*3 = 81 + 81 = 162

5. Ответ: 162

Решение (метод отображений¹, решение А.Н. Носкина):

1. сначала построим таблицу, в которой переберем все варианты x₁, x₂, x₃, поскольку в первом логическом уравнении три переменных, то таблица будет иметь 8 строк (8 = 2³);

уберем из таблицы (желтая заливка) такие значения x3, при которых первое уравнение не имеет решения.

1. анализируя таблицу, строим правило отображения пар переменных

(например паре x₁x₂=00 соответствуют пары x₂x₃= 00 и 01).

1. теперь построим таблицу, в которой переберем все варианты x₃, x₄, x₅, поскольку во втором логическом уравнении три переменных, то таблица будет иметь 8 строк (8 = 2³);

уберем из таблицы (желтая заливка) такие значения x5, при которых второе уравнение не имеет решения.

1. анализируя таблицу, строим правило отображения пар переменных, связывая с переменными первого логического уравнения

1. Заполняем таблицу, вычисляя количество пар переменных, при котором система имеет решение.

1. Складываем все результаты: 27 + 54 + 54 + 27 = 162

2. Ответ: 162.

Решение (метод отображений, решение Ел.А. Мирончик):

1. для построения отображения построим таблицу решения первого уравнения:

   x1	x2	x3
   0	0	0
   		1
   	1	0
   1	0	1
   	1	0
   		1

2. уравнения связаны только через одну переменную, значит множество значений переменной x₁ приведет к множеству значений переменной x₃ это отображение повторится на переходе от x₃ к x₅, далее к x₇ и x₉

3. построим отображение:

1. в таблицу необходимо включить переменные x₁,x₃,x₅, x₇ и x₉; на старте имеем одно значение x₁=0 и одно значение x₁=1

   	X1	X3	X5	X7	X9
   0	1	3	9	27	81
   1	1	3	9	27	81

2. складываем все результаты: 81 + 81 = 162

3. ответ: 162.

1^ Метод отображений предложен Ел.А. Мирончик и Ек.А. Мирончик (http://kpolyakov.spb.ru/download/b15mirn.zip).