28.11.Еще пример задания

Сколько различных решений имеет система уравнений

((X₁  X₂)  (X₃  X₄))  (¬(X₁  X₂)  ¬(X₃  X₄)) = 1

((X₃  X₄)  (X₅  X₆))  (¬(X₃  X₄)  ¬(X₅  X₆)) = 1

((X₅  X₆)  (X₇  X₈))  (¬(X₅  X₆)  ¬(X₇  X₈)) = 1

((X₇  X₈)  (X₉  X₁₀))  (¬(X₇  X₈)  ¬(X₉  X₁₀)) = 1

где x₁, x₂, …, x₁₀ – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Решение:

1. количество комбинаций 10 логических переменных равно 2¹⁰ = 1024, поэтому вариант с построением полной таблицы истинности отпадает сразу

2. решать такую систему «в лоб» достаточно сложно, нужно попробовать ее упростить

3. рассмотрим первое уравнение, заменив обозначения логических операций на более простые:

,

где и . Выражение в левой части последнего равенства – это операция эквивалентности между Y­₁ и Y₂, то есть первое уравнение запишется в виде

1. аналогично, вводя обозначения , и , запишем исходную систему в виде

(Y₁  Y₂) = 1

(Y₂  Y₃) = 1

(Y₃  Y₄) = 1

(Y₄  Y₅) = 1

заметим, что все переменные здесь независимы друг от друга

1. найдем решение этой системы относительно независимых переменных Y₁ … Y₅

2. первое уравнение имеет два решения (с учетом остальных переменных – две группы решений): (0,0,*) и (1,1,*), где * обозначает остальные переменные, которые могут быть любыми

3. второе уравнение тоже имеет две группы решений: (Y₁,0,0,*) и (Y ₁,1,1,*), где Y ₁ обозначает некоторое значение переменной Y ₁

4. теперь ищем решения, которые удовлетворяют и первому, и второму уравнению; очевидно, что их всего 2: (0,0,0,*) и (1,1,1,*)

5. рассуждая дальше аналогичным образом, приходим к выводу, что система имеет всего два решения относительно переменных Y₁ … Y₅: все нули и все единицы

6. теперь нужно получить количество решений в исходных переменных, X₁ … X₁₀; для этого вспомним, что переменные Y₁ … Y₅ независимы;

7. предположим, что значение Y₁ известно (0 или 1); поскольку , по таблице истинности операции «эквивалентность» (истина, когда два значения одинаковы), есть две соответствующих пары (X₁;X₂) (как для случая Y₁ = 0, так и для случая Y₁ = 1)

8. у нас есть 5 переменных Y₁ … Y_5, каждая их комбинация дает 2 допустимых пары (X₁;X₂), 2 пары (X₃;X₄), 2 пары (X₅;X₆), 2 пары (X₇;X₈) и 2 пары (X₉;X₁₀), то есть всего 2⁵ = 32 комбинации исходных переменных

9. таким образом, общее количество решений равно 2 ·32 = 64

10. ответ: 64 решения

Решение (табличный метод):

1. так же, как и в предыдущем варианте, с помощью замену переменных сведем систему к виду:

(Y₁  Y₂) = 1

(Y₂  Y₃) = 1

(Y₃  Y₄) = 1

(Y₄  Y₅) = 1

1. рассмотрим все решения первого уравнения по таблице истинности:

   	Y2	Y1
   1	0	0
   0	0	1
   0	1	0
   1	1	1

2. строчки, выделенные красным фоном, не удовлетворяют условию, поэтому дальше их рассматривать не будем

3. теперь подключаем третью переменную и второе уравнение:

   Y3	Y2	Y1
   ?	0	0
   ?	1	1

4. при каких значениях переменной X₃ будет верно условие ? Очевидно, что на это уже не влияет Y­₁ (этот столбец выделен зеленым цветом). Cразу получаем два решения:

   Y3	Y2	Y1
   0	0	0
   1	1	1

5. как видно из таблицы, каждая строчка предыдущей таблицы дает одно решение при подключении очередного уравнения, поэтому для любого количества переменных система имеет 2 решения – все нули и все единицы

6. так же, как и в предыдущем способе, переходим к исходным переменным и находим общее количество решений: 2 ·32 = 64

7. ответ: 64 решения

Решение (метод отображений¹, решение А.Н. Носкина):

1. построим таблицу, в которой переберем все варианты x₁, x₂, x₃, x₄, поскольку в первом логическом уравнении четыре переменных, то таблица будет иметь 16 строк (16=2⁴);

уберем из таблицы (желтая заливка) такие значения x₄, при которых первое уравнение не имеет решения.

1. анализируя таблицу, строим правило отображения пар переменных

(например, паре x₁x₂ = 00 соответствуют пара x₃x₄ = 00 и 11, и, наоборот, для пары x₁x₂ = 00 нет связей x₃x₄ = 01 и 10).

1. заполняем таблицу, вычисляя количество пар переменных, при котором система имеет решение.

1. таким образом, ответ: 16 +16 + 16 +16 = 64 решения.

1^ Метод отображений предложен Ел.А. Мирончик и Ек.А. Мирончик (http://kpolyakov.spb.ru/download/b15mirn.zip).