3.Построение таблиц истинности логических выражений

Построение таблиц истинности логических выражений.

Про обозначения

К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике (,,¬), неудобны, интуитивно непонятны и никак не проявляют аналогии с обычной алгеброй. Автор, к своему стыду, до сих пор иногда путает  и . Поэтому на его уроках операция «НЕ» обозначается чертой сверху, «И» – знаком умножения (поскольку это все же логическое умножение), а «ИЛИ» – знаком «+» (логическое сложение).
В разных учебниках используют разные обозначения. К счастью, в начале задания ЕГЭ приводится расшифровка закорючек (,,¬), что еще раз подчеркивает проблему.

Что нужно знать:

• условные обозначения логических операций

¬ A, не A (отрицание, инверсия)

A  B, A и B (логическое умножение, конъюнкция)

A  B, A или B (логическое сложение, дизъюнкция)

A → B импликация (следование)

A  B эквивалентность (равносильность)

• операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»:

A → B = ¬ A  B или в других обозначениях A → B =

• иногда для упрощения выражений полезны формулы де Моргана:

¬ (A  B) = ¬ A  ¬ B

¬ (A  B) = ¬ A  ¬ B

• если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», «импликация», и самая последняя – «эквивалентность»

• таблица истинности выражения определяет его значения при всех возможных комбинациях исходных данных

• если известна только часть таблицы истинности, соответствующее логическое выражение однозначно определить нельзя, поскольку частичной таблице могут соответствовать несколько разных логических выражений (не совпадающих для других вариантов входных данных);

• количество разных логических выражений, удовлетворяющих неполной таблице истинности, равно , где – число отсутствующих строк; например, полная таблица истинности выражения с тремя переменными содержит 2³=8 строчек, если заданы только 6 из них, то можно найти 2^8-6=2²=4 разных логических выражения, удовлетворяющие этим 6 строчкам (но отличающиеся в двух оставшихся)

• логическая сумма A + B + C + … равна 0 (выражение ложно) тогда и только тогда, когда все слагаемые одновременно равны нулю, а в остальных случаях равна 1 (выражение истинно)

• логическое произведение A · B · C · … равно 1 (выражение истинно) тогда и только тогда, когда все сомножители одновременно равны единице, а в остальных случаях равно 0 (выражение ложно)

• логическое следование (импликация) А→В равна 0 тогда и только тогда, когда из A (посылка) истинна, а B (следствие) ложно

• эквивалентность АB равна 1 тогда и только тогда, когда оба значения одновременно равны 0 или одновременно равны 1

(http://ege.yandex.ru) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение соответствует F?

Одно из приведенных ниже выражений истинно при любых значениях переменных x1, x2,x3, x4, x5. Укажите это выражение.

1) F(x1,x2,x3,x4,x5)x1

2) F(x1,x2,x3,x4,x5)x2

3) F(x1,x2,x3,x4,x5)x3

4) F(x1,x2,x3,x4,x5)x4

Решение:

1. во всех заданных вариантах ответа записана импликация, она ложна только тогда, когда левая часть (значение функции F) истинна, а правая – ложна.

2. выражение 1 ложно для набора переменных в третьей строке таблицы истинности, где F(…) = 1 и , оно не подходит

3. выражение 2 ложно для набора переменных в третьей строке таблицы истинности, где F(…) = 1 и , оно не подходит

4. выражение 3 истинно для всех наборов переменных, заданных в таблице истинности

5. выражение 4 ложно для набора переменных в первой строке таблицы истинности, где F(…) = 1 и , оно не подходит

6. ответ: 3.