Числовые неравенства

Числовые неравенства

Неравенство, в котором используются только числа, называется числовым.

Например,

Рассмотрим сравнение чисел в разном представлении:

1. Целые числа.

Целые числа сравнивают по разрядам, продвигаясь от наибольшего к наименьшему.

Например,

1. Десятичные дроби.

При сравнении десятичных дробей сначала сравнивают целые части (правило 1), а затем десятичные части, при этом, необходимым условием является уравнивание количества знаков после запятой, добавляя необходимое количество нулей в конце числа.

Например, сравнить . Так как целые части равны, то уравниваем количество знаков после запятой:

1. Обыкновенные дроби.

Здесь есть несколько вариантов:

• Если дроби имеют одинаковый знаменатель, то больше будет та дробь, у которой числитель больше ;

• Если дроби имеют одинаковый числитель, то больше будет та дробь, у которой знаменатель меньше ;

• Если дроби имеют разные знаменатели (и разные числители), то такие дроби сначала приводим к общему знаменателю, а затем сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями ;

• Правильная дробь всегда меньше 1 ;

• Неправильная дробь всегда больше 1 ;

• Неправильная дробь всегда больше правильной (независимо от знаменателя) .

1. Смешанные числа.

При сравнении смешанных чисел, сначала сравнивают целые части, а затем дробные.

Например, сравнить и . Так как целые части равны, то приводим к общему знаменателю дробные части, получаем: . Значит, .

1. Числа с разными знаками.

Из двух чисел с разными знаками, всегда больше положительное число.

Например, .

1. Отрицательные числа.

2. Из двух отрицательных чисел больше то, которое имеет меньший модуль; или, другими словами, больше то, которое на координатной прямой расположено ближе к нулю.

Например, , так как , или число находится ближе к нулю, чем число.

1. Сравнение с нулём.

• Отрицательное число всегда меньше нуля ;

• Положительное число всегда больше нуля .

1. Дроби в разном представлении.

Если дроби записаны в разном представлении (одна обыкновенная, другая десятичная), то сначала необходимо представить их в одном виде: либо обе в десятичном, либо обе в виде обыкновенной дроби.

Например, сравнить дроби и . Представим вторую дробь в десятичном виде: и сравним . Значит, .

Мы разобрали 9 возможных случаев. Все они подчиняются одному и тому же правилу:

Если разность чисел а и b положительна, то а b.

Если разность чисел а и b отрицательна, то а b.