Урок по алгебре " Числовые неравенства и их свойства"

Тема урока: Числовые неравенства и их свойства "

Дата 11.03.25г.

Класс: 8ж

Цель:

рассмотреть теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств; сформировать навыки применения их к решению простейших задач на оценку выражений; закрепить свойства неравенств; привитие интереса к изучаемому предмету; формирование математического мышления и умения учащихся воспроизводить мысли устной и письменной речью.

Планируемые образовательные результаты

Личностные: развивать находчивость при решении задач. Критически оценивать полученный ответ, осуществлять самоконтроль. Готовность учиться самостоятельно. Доброжелательно и уважительно относиться к другим людям, уметь работать в режиме диалога.

Метапредметные:

Принимать учебную проблемную ситуацию и рассматривать ее как начальный этап ее последующего обсуждения и разрешения. Выдвигать гипотезы и их обосновывать. Использовать знаково-словесные способы кодирования информации. Структурировать знания. Осознанно строить речевое высказывание в устной форме.

Предметные: Уметь читать числовые неравенства; знать свойства числовых, уметь доказывать их и применять их на практике. Уметь оценивать значение выражения, используя свойства числовых неравенств.

Планируемые результаты: Учащийся научится применять полученные знания при решении практических задач, оперировать терминами, закрепят свойства неравенств.

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний

План урока:

1. Организационный этап (1 мин)

2. Актуализация опорных знаний и умений учащихся (10 мин)

3. Формулировка целей урока (1 мин)

4. Формирование новых знаний (10 мин)

5. Разминка для глаз (1 мин)

6. Применение теоретических положений в условиях выполнения упражнений. (15 мин)

7. Домашнее задание (1 мин)

8. Рефлексия (1 мин)

ХОД УРОКА

1.Организационный момент. Проверка готовности учащихся к уроку. Приветствие.

2. Актуализация опорных знаний.

Девиз урока: «Рано или поздно всякая   правильная математическая

 идея находит применение в том или ином деле»

Ребята, скажите, чем мы с вами занимались на прошлом уроке?

(Познакомились со свойствами числовых неравенств).

- а что будем делать сегодня на уроке? (закрепим свойства числовых неравенств, правила сравнения числовых неравенств, будем решать различные задачи по этой теме)

Повторение:

Устная работа: Прочитайте фразу и продолжите её:

  Если  аb, то  b…a. (Привести пример)

  Если  аb  и   bc, то  а…с. (Привести пример)

  Если  ab и m – произвольное число, то  a+m…b+m. (Проговорить формулировку) (Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и тоже число, то получится верное неравенство)

  Если   ab  и   c0, то   ac…bc. (Проговорить формулировку). (Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже положительное число, то получится верное неравенство

     Если  a0,  b0  и  a , то          (Привести пример)

  Если   ab  и   c, то   ac…bc. (Проговорить формулировку) (Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.)

Следствие из теоремы: если, а и b – положительные числа, то , если а и b – отрицательные числа, то

  Задание 1. Сравните, а и в если:

1) в – а = 0,8 2) в – а = - 0,2 4) в + 3 = а + 2 

3) а = в + 2,5 5) в +  = а + 

Задание 2. Известно, что, а b. Сравните:

1) a + 4  b + 4

2) −3,2a  −3,2b

3) 10,5a  10,5b

4) b – 6  a – 6

5) 3 b  3 a

0

в

Задание 3. (работа в парах)

а

А)

Какое из следующих утверждений верно:

а

0

1. а – в 0 2. а + в 0 3. а (а + в) 0 4. в (а + в) 0

   

   в

Б)

Какое из следующих утверждений неверно:

1. а в 0 4. (а – в)(а +в) 0

Темой нашего урока будет тема: «Свойства числовых неравенств» (озвучивают ученики)

Открываем тетради, записываем число тему урока «Свойства числовых неравенств».

Давайте определим ваши цели и задачи на уроке.

-научиться решать задачи по теме;

-проявить и развить свои способности;

-самому оценить свой уровень знаний по теме;

-пообщаться с друзьями.

-Итак, с целями определились

4.Создание проблемной ситуации и поиск путей решения проблемы (мотивация учащихся к изучению новой темы)

Часто значения величин, являющихся результатами измерений, не точны. Измерительные приборы, как правило, позволяют лишь установить границы, между которыми находится точное значение.

Предложить обучающимся задачу

 Задача 1«Измеряя длину, а и ширину b прямоугольного участка, (в метрах), нашли

Что, дина и ширина равны: 2 и 4 b Оцените длину изгороди вокруг этого участка и его площадь».

Возможные наводящие вопросы:

1. Как найти периметр и площадь прямоугольника.

2. Что нужно сделать, чтобы оценить площадь и периметр?

3. Достаточно ли знания изученных ранее свойств для решения задачи?

Дети: Читают задачу, анализируют. Выдвигают свои способы (гипотезы) для решения поставленной задачи. Отвечают на вопросы:

Р=2*(а+b); S=a*b.

1. Для оценки периметра нужно почленно сложить неравенства, а затем все части неравенства умножить на 2.

Для оценки площади необходимо умножить неравенства почленно.

Сейчас рассмотрим свойства, когда неравенства почленно перемножаются и складываются

6. Изучение нового материала

Теперь давайте рассмотрим теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств.

Теорема 5. Если a

Доказательство
Прибавим к обеим частям неравенства a  Прибавим к обеим частям неравенства c  Из неравенств a + c

Вывод: Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

Пример 1. Сложите числовые неравенства:

• Например: Сложите почленно неравенства  

–3,1    и   6,3 .

Теорема 6.  

Если a 

Доказательство

Умножим обе части неравенства a 

Умножим обе части неравенства c

Из неравенств acbd,  следует, что aс 

Вывод: Если перемножить почленно верные неравенства одного знака, левые и правые части которых – положительные числа, то получится верное неравенство.

Пример 2. Перемножьте числовые неравенства:

Например:

76 -3

^* 3 ^* 7 2 – 4

2112 верно 12

Следствие: 

Если числа а и b положительные и а b, то aⁿ bⁿ ( n– натуральное число)

Например: 3 2, значит 3³ 2³

27 8 верно

Заметим, что все рассмотренные свойства неравенств справедливы и в случае нестрогих неравенств:

если a   b и c    d, то a + c  b + d;
если a   b, c   d и a, b, c, d – положительные числа, то ac   bd;
если a   b и a, b – положительные числа, то , где n – натуральное число, то aⁿ bⁿ

Задания из дидактического материала:

Пример: 7x y

Оцените: x+y , x-y , xy ,

Решение:

7 x x

⁺ 2 y -5 y

9 x-y

7x x

^*2 y

14x*y

Возвращаемся к проблемной задаче.

Решают задачу №1. Обучающиеся решают задачу.

2 и 4 b

С помощью теоремы оценим периметр прямоугольника

+

2а

4 6(a+b)8

6(a+b)

Тогда с помощью теоремы 6 можно оценить площадь прямоугольника.



2

4 b

8ab

Вообще, если известны значения границ величин, то, используя свойства числовых неравенств, можно найти границы значения выражения, содержащего эти величины, т. е. оценить его значение.

Разминка (для глаз) 

- Не поворачивая головы, обведите взглядом стену класса по периметру по часовой стрелке, классную доску по периметру против часовой стрелки, прямоугольник, изображенный на слайде по часовой стрелке(красной) и следующий против часовой стрелки. Пробегите взглядом по жёлтой линии, затем по голубой. Поверните голову налево и посмотрите на линию горизонта, а теперь на кончик своего носа. Закройте глаза, сосчитайте до 5, откройте глаза и продолжим работу

6. Закрепление изученного материала

Пример: Зная, что 7≤ x ≤9

2 ≤ y ≤ 5 Оцените: x+y , x-y , xy , 

Решение: 7 ≤ x ≤ 9 7 ≤ x ≤ 9

⁺ 2 ≤ y ≤ 5 -5 ≤ -y ≤ -2

9 ≤х+у≤14 2≤ x-y ≤ 7

7≤ x ≤9 7≤x≤9

^*2 ≤ y ≤ 5   ≤  ≤

14≤xy≤45   ≤  ≤

№ 768. Выполняют учащиеся

Выполним а), в), затем б), г) (слайд № 25 )

8. Итоги урока. Выставление оценок.

1. Сформулируйте теорему о почленном сложении числовых неравенств.

2. Сформулируйте теорему о почленном умножении числовых неравенств.

3. Как вы думаете, данные теоремы справедливы только для двух числовых неравенств?

4. Что значит оценить значение выражения?

9. Домашнее задание изучить п.30 учебника (выучить правила), №769,773

10. Рефлексия 

Ученикам предлагается закончить предложения:

Я сегодня познакомился с ...
У меня сегодня получилось ...

Какие вопросы остались для меня неясными?