ДНР, Ясиноватая
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Был в сети 05.10.2018 21:56
Туболев Сергей Павлович
Учитель информатики
65 лет
3 343
17 858 
Местоположение
Специализация
Числовые неравенства и их свойства
Категория:
Алгебра
04.03.2018 22:38
Просмотр содержимого документа
«Числовые неравенства и их свойства»
Работа по алгебре
Ученицы 9-А класса
ЯОШ №1
Смирновой Ангелины
НЕРАВЕНСТВА
17; 0,320,2; -5-7 являются примерами числовых неравенств. Известно, что 25 17. Найдем разность левой и правой частей этого неравенства: 25-17 = 80 — разность положительна. Найдем разность левой и правой частей неравенства 7 7 - 10 = -3 Из равенства 15=15 имеем: 15-15=0 — разность равна нулю. Следовательно, существует зависимость между соотношениями «», «Определение Число а больше числа b, если разность а - b — положительное число; число а меньше числа b, если разность а - b — отрицательное число; число а равно числу b, если разность а-b равна нулю. " width="640"
Числовые неравенства
Мы знаем, что записи 2517; 0,320,2; -5-7 являются примерами числовых неравенств.
Известно, что 25 17. Найдем разность левой и правой частей этого неравенства:
25-17 = 80 — разность положительна.
Найдем разность левой и правой частей неравенства 7
7 - 10 = -3
Из равенства 15=15 имеем:
15-15=0 — разность равна нулю.
Следовательно, существует зависимость между соотношениями «», «
Определение
Число а больше числа b, если разность а - b — положительное число;
число а меньше числа b, если разность а - b — отрицательное число;
число а равно числу b, если разность а-b равна нулю.
0, то а b; если а - b 0, то а если а-b= 0,то а = Ь. На координатной прямой большее число изображают точкой, которая лежит правее точки, изображающей меньшее число. В неравенствах используют знаки: «» — больше, «≤ » — меньше или равно (не больше), «≥» — больше или равно (не меньше). Неравенства, образованные при помощи знаков «», называют строгими неравенствами, а неравенства, образованные при помощи знаков «≤» или «≥», называют нестрогими. Из определения соотношений «больше», «меньше», «равно» следует, что аb, если a-b ≥ 0,a ≤ b, если а -b ≤ 0. Числовые неравенства могут быть верными и неверными. Например, 5 30 — неверное неравенство. " width="640"
Числовые неравенства
Следовательно, для сравнения двух чисел а и b достаточно образовать разность а-b и выяснить, является она положительным числом, отрицательным числом или нулем. Если а- b0, то а b; если а - b 0, то а если а-b= 0,то а = Ь.
На координатной прямой большее число изображают точкой, которая лежит правее точки, изображающей меньшее число.
В неравенствах используют знаки: «» — больше, «≤ » — меньше или равно (не больше), «≥» — больше или равно (не меньше).
Неравенства, образованные при помощи знаков «», называют строгими неравенствами, а неравенства, образованные при помощи знаков «≤» или «≥», называют нестрогими.
Из определения соотношений «больше», «меньше», «равно» следует, что аb, если
a-b ≥ 0,a ≤ b, если а -b ≤ 0.
Числовые неравенства могут быть верными и неверными. Например, 5 30 — неверное неравенство.
b, то b Доказательство. Если а b, то а - b — положительное число. Противоположное ему число -(a- b) = b- а является отрицательным. Так как b-а то b Свойство2 Если а и b то а Доказательство. По условию а и b (а - b) + ( b - с) =a- b + b- с = а - с 0. Так как а - с 0, то а " width="640"
Свойства числовых неравенств
Свойство 1 Если а b, то b
Доказательство. Если а b, то а - b — положительное число. Противоположное ему число -(a- b) = b- а является отрицательным. Так как b-а то b
Свойство2 Если а и b то а
Доказательство. По условию а и b (а - b) + ( b - с) =a- b + b- с = а - с 0. Так как а - с 0, то а
bm cm, то есть cm " width="640"
Свойства числовых неравенств
Следствие . Если некоторое слагаемое перенести из одной части верного неравенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный, то получим верное неравенство.
Замечание. Двойное неравенство а можно записать в виде двух неравенств: а и b Если а и b то для любого числа т справедливы неравенства:
a + m откуда а + т Итак, если ко всем частям верного двойного неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное двойное неравенство.
Аналогично можно обосновать утверждения:
если a0, то am
если a то am bm cm, то есть cm
Cложение и умножение числовых неравенств.
1. Сложение числовых неравенств. Возьмем верные числовые неравенства с одинаковыми знаками: -3
Если почленно сложить верные неравенства одного знака, сохранив их общий знак, то получим верное неравенство.
2 и 5 3. Почленно перемножим их. Получим верное неравенство 7 • 5 2 • 3 или 35 6. Почленно перемножим неравенства -3 —4 6. Получим неверное неравенство 12 В первом случае все числа данных неравенств были положительными, во втором — положительными и отрицательными. Докажем следующее свойство. Свойство : Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, сохранив при этом их общий знак, то получим верное неравенство. Доказательство. Пусть а и с где а, b, с и d — положительные числа. Нужно доказать, что ас Умножим обе части неравенства а на положительное число с, а обе части неравенства с — на положительное число b. Получим верные неравенства: ас По свойству 2 из последних двух неравенств следует, что ас Аналогично можно доказать, что если а b и c d, где а, b, с и d — положительные числа, то ас bd. Следствие. Если а n n . При доказательстве следствия достаточно взять n неравенств а и почленно их перемножить. " width="640"
Cложение и умножение числовых неравенств
2. Умножение числовых неравенств. Возьмем верные неравенства: 7 2 и 5 3. Почленно перемножим их. Получим верное неравенство 7 • 5 2 • 3 или 35 6.
Почленно перемножим неравенства -3 —4 6. Получим неверное неравенство 12
В первом случае все числа данных неравенств были положительными, во втором — положительными и отрицательными. Докажем следующее свойство.
Свойство :
Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, сохранив при этом их общий знак, то получим верное неравенство.
Доказательство. Пусть а и с где а, b, с и d — положительные числа. Нужно доказать, что ас Умножим обе части неравенства а на положительное число с, а обе части неравенства с — на положительное число b. Получим верные неравенства: ас По свойству 2 из последних двух неравенств следует, что ас
Аналогично можно доказать, что если а b и c d, где а, b, с и d — положительные числа, то ас bd.
Следствие. Если а n n .
При доказательстве следствия достаточно взять n неравенств а и почленно их перемножить.
Cложение и умножение числовых неравенств
Неравества с одной переменной.Числовые промежутки.
1.Понятие о неравенстве с одной переменной и его решении.
Определение
Решением неравенства с одной переменной называют значение переменной, превращающее его в верное числовое неравенство.
Решить неравенство значит найти все его решения или доказать, что решений нет.
Неравества с одной переменной.Числовые промежутки.
2.Числовые промежутки.
Рассмотрим несколько примеров.
Неравенству -2 удовлетворяют все действительные числа больше -2 и меньше 3, то есть все действительные числа, лежащие на числовой прямой между числами -2 и 3. Множество всех чисел, удовлетворяющих двойному неравенству -2 х 3, называют числовым . промежутком или просто промежутком и обозначают (-2; 3) (читают: «промежуток от -2 до 3»). На координатной прямой его изображают так:
Неравества с одной переменной.Числовые промежутки.
Промежуток заштриховывают, точки -2 и 3 изображают «пустыми» («выколотыми»).
Число 2,2 удовлетворяет двойному неравенству -2 х 3, а число 4 ему не удовлетворяет. Говорят, что число 2,2 принадлежит промежутку (-2; 3), а число 4 ему не принадлежит.
![Неравества с одной переменной.Числовые промежутки Неравенству -2 ≤ х ≤ 3 удовлетворяют все действительные числа, которые лежат между числами -2 и 3 или равны числам -2 или 3. Множество таких чисел обозначают так: [-2; 3] (читают: «промежуток от -2 до 3, включая -2 и 3»). На координатной прямой его изображают так:](https://fsd.multiurok.ru/html/2018/03/04/s_5a9c49bd6767c/img11.jpg)
Неравества с одной переменной.Числовые промежутки
Неравенству -2 ≤ х ≤ 3 удовлетворяют все действительные числа, которые лежат между числами -2 и 3 или равны числам -2 или 3. Множество таких чисел обозначают так: [-2; 3] (читают: «промежуток от -2 до 3, включая -2 и 3»). На координатной прямой его изображают так:
4 удовлетворяют все действительные числа больше 4. На координатной прямой эти числа изображают точками, лежащими справа от точки с координатой 4. Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х 4, изображают полупрямой, находящейся справа от точки с координатой 4 без этой точки.Такое множество называют промежутком от 4 до плюс бесконечности и обозначают (4; +∞). Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х≥4, изображают полупрямой . Это множество обозначают [4; +∞) (читают: «промежуток от 4 до плюс бесконечности, включая 4»). " width="640"
Множества чисел, удовлетворяющих двойным неравенствам -2 ≤ х 3 и -2 х ≤ 3, обозначают соответственно [-2; 3) и (-2; 3] (читают: «промежуток от -2 до 3, включая -2» и «промежуток от -2 до 3, включая 3»). Эти промежутки изображают на координатной прямой так:
Неравенству х 4 удовлетворяют все действительные числа больше 4. На координатной прямой эти числа изображают точками, лежащими справа от точки с координатой 4. Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х 4, изображают полупрямой, находящейся справа от точки с координатой 4 без этой точки.Такое множество называют промежутком от 4 до плюс бесконечности и обозначают (4; +∞).
Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х≥4, изображают
полупрямой . Это множество обозначают [4; +∞) (читают:
«промежуток от 4 до плюс бесконечности, включая 4»).
![Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х 8, записывают (-∞; 8) и читают «промежуток от минус бесконечности до 8». Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х ≤ 8, записывают (-∞; 8] и читают: «промежуток от минус бесконечности до 8, включая 8». На координатной прямой эти числовые промежутки изображают так: Множество всех действительных чисел изображают всей координатной прямой и обозначают так: (-∞;+∞) . 3.Объединение и пересечение числовых промежутков. Рассмотрим два промежутка: [-1; 4) и (2; 7). Промежуток [-1;7) образуют все числа, принадлежащие промежутку [— 1; 4) или промежутку (2; 7). Говорят, что промежуток [-1; 7) является объединением промежутков [—1; 4) и (2; 7). Записывают: [-1; 4) U (2; 7) = [-1; 7), где «U» — знак объединения.](https://fsd.multiurok.ru/html/2018/03/04/s_5a9c49bd6767c/img13.jpg)
Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х 8, записывают
(-∞; 8) и читают «промежуток от минус бесконечности до 8». Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х ≤ 8, записывают (-∞; 8] и читают: «промежуток от минус бесконечности до 8, включая 8». На координатной прямой эти числовые промежутки изображают так:
Множество всех действительных чисел изображают всей координатной прямой и обозначают так: (-∞;+∞) .
3.Объединение и пересечение числовых промежутков. Рассмотрим два промежутка: [-1; 4) и (2; 7).
Промежуток [-1;7) образуют все числа, принадлежащие промежутку [— 1; 4) или промежутку (2; 7). Говорят, что промежуток [-1; 7) является объединением промежутков [—1; 4) и (2; 7). Записывают: [-1; 4) U (2; 7) = [-1; 7), где «U» — знак объединения.
Определение:
Объединением числовых промежутков называют множество всех чисел,принадлежащих хотя бы одному из этих промежутков.
Промежуток (2; 4) образуют все общие числа из промежутков [-1; 4) и (2; 7), то есть все числа, принадлежащие каждому из промежутков [-1;4) и (2; 7). Говорят, что промежуток (2; 4) является пересечением промежутков [-1; 4) и (2; 7). Записывают: [-1; 4)∩(2; 7) = (2; 4), где «∩» — знак пересечения.
Определение:
Пересечением числовых промежутков называют множество всех чисел, принадлежащих каждому из этих промежутков.
Решение неравенств с одной переменной. Равносильные неравенства.
Неравенства, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также называют равносильными.
Замену неравенства равносильными ему неравенствами выполняют на основании таких свойств:
- если выполнить тождественные преобразования некоторой части неравенства, которые не меняют допустимые значения переменной, то получим неравенство, равносильное данному;
- если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемое, изменив его знак на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному;
- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному;
- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и при этом изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
b,ax≥b,ax где а и b — некоторые известные числа, а х — переменная, называют линейными неравенствами с одной переменной. Если а ≠ 0, то для решения линейного неравенства с одной переменной нужно разделить обе части неравенства на а. Если а = 0, то или решением неравенства является любое число, или неравенство не имеет решений. Выделим следующие основные шаги решения неравенств: если неравенство содержит дроби, то обе части неравенства умножаем на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство; если в неравенства есть скобки, то раскрываем их; переносим слагаемые, содержащие переменную, в одну часть неравенства (как правило, елевую), а слагаемые, не содержащие переменной, — в другую часть (как правило, в правую); приводим подобные слагаемые; если получили линейное неравенство и коэффициент при переменной не равен нулю, то делим на него обе части неравенства; если коэффициент при переменной равен нулю, то неравенство или не имеет решений, или его решением является любое число. " width="640"
Линейные неравенства с одной переменной.
Неравенства вида axb,ax≥b,ax где а и b — некоторые известные числа, а х — переменная, называют линейными неравенствами с одной переменной. Если а ≠ 0, то для решения линейного неравенства с одной переменной нужно разделить обе части неравенства на а. Если а = 0, то или решением неравенства является любое число, или неравенство не имеет решений.
Выделим следующие основные шаги решения неравенств:
- если неравенство содержит дроби, то обе части неравенства умножаем на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство;
- если в неравенства есть скобки, то раскрываем их;
- переносим слагаемые, содержащие переменную, в одну часть неравенства (как правило, елевую), а слагаемые, не содержащие переменной, — в другую часть (как правило, в правую);
- приводим подобные слагаемые;
- если получили линейное неравенство и коэффициент при переменной не равен нулю, то делим на него обе части неравенства;
- если коэффициент при переменной равен нулю, то неравенство или не имеет решений, или его решением является любое число.
The End
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
