831, 14.04.2020 "Основные приёмы решения логарифмических уравнений и неравенств".

Основные приёмы решения логарифмических уравнений и неравенств.

Задание: Разобрать подробно следующие примеры:

Пример 1. Решите уравнение:   

Решение: способ 1. В область допустимых значений (ОДЗ) входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:

Видим логарифмы по одному и тому же основанию равны, значит, равны и логарифмируемые выражения. 

В область допустимых значений входит только первый корень. Ответ:  7. ОДЗ можно было не решать, а просто записать. В конце каждый корень подставить в ОДЗ. Если с каждым неравенством ОДЗ получится верное числовое неравенство, то он идет в Решение: способ 2. Если это уравнение решим путем равносильных переходов, то ОДЗ нашли бы без всяких квадратных неравенств и пересечений. Итак

Уравнение х² - 5х – 14 = 0 имеет корни х₁ = 7, х₂ = -2.

В область допустимых значений входит только первый корень. Ответ: x = 7.

Пример 2. Решите уравнение

Решение. Решим методом равносильных переходов. Тогда уравнение равносильно системе

Корни уравнения -2 и 5. Только -2 ϵ ОДЗ. Ответ: -2

Пример 3. Решите уравнение log₅(x – 2) = 1

Решение: Переменная х встречается лишь в одном log и стоит в его аргументе, значит находить ОДЗ не надо. log₅(x – 2) = 1  x – 2 = 5¹  x – 2 = 5  x = 7. Ответ: 7.

Пример 4. Решите уравнение

Р ешение: Три раза выполним переход: log_a f(x) = b f(x) = a^b

   x = 8.

Ответ: 8

Пример 5. Решите уравнение:

Решение: Это простейшее логарифмическое уравнение, поэтому нет необходимости найти ОДЗ, потому что 3х – 10 будет выполняться автоматически. Слева у нас стоит выражение с логарифмом, а справа – число. Что делать? Нужно сделать так, чтобы справа тоже было выражение с логарифмом по основанию 0,5 а затем просто сбросить логарифмы. Так как −3 = −3*1 = -3*log_0,5 0,5=log_0,5 0,5⁻³ тогда уравнение примет вид: log_0,5 (3x − 1) = log_0,5 0,5⁻³

3x − 1 = 0,5⁻³

Все десятичные дроби переводите в обычные, когда вы решаете логарифмическое уравнение.

Заметим что 0,5^-3 = (1/2) ⁻³ = (2^-1)^-3 = 2³ = 8 и получим

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3 Ответ: 3.

Пример 7. Решите уравнение

ОДЗ: x 0. Введем новую переменную тогда получим квадратное уравнение:

y² – y = 2,

y² – y – 2 = 0,

y₁ = 2 или y₂ = -1

или

x = 25 или x = 5^-1

x =

Ответ: 25;

Пример 8. Решить неравенство log₂(2х + 2) log₂ x. Решение. Основания одинаковые и больше 1.По схеме ( 1) получаем: первый аргумент больше второго, по ОДЗ оба они больше нуля. Для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из них неравенством больше нуля.

Ответ: 

Пример 9. Решить неравенство: Решение. Основания одинаковые и меньше 1.По схеме (2) получаем: первый аргумент меньше второго, по ОДЗ оба они больше нуля. Для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из них.

Ответ: нет решений

Пример 10. Решить неравенство:

Решение. В левой части log , а в правой число. Приведем к виду log_af(x) ≥ log_ag(x). Для этого число в правой части представим в виде логарифма с тем же основанием, что логарифм в левой части, т.е.

применили

Итак, имеем неравенство:

Основание логарифмов равны и меньше единицы, По схеме (2) получаем: первый аргумент меньше второго, по ОДЗ оба они больше нуля. Для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее. Имеем систему:

 Ответ: