Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Конспект урока алгебры в 9 классе

Тема: Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Подготовила учитель первой квалификационной категории Икковской основной школы Чебоксарского района Чувашской Республики Федотова Юлия Тимофеевна

Девиз: «Мало знать, надо уметь этим пользоваться»

Цели: 1. Расширить и углубить знания о прогрессиях, продолжить формирование у

учащихся умения применять формулу суммы n- первых членов геометрической прогрессии.

1. Способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, применять приемы сравнения, переноса знаний в новую ситуацию; развитию логического мышления, творческих способностей учащихся путем решения межпредметных задач.

2. Побуждать учащихся к преодолению трудностей, самоконтролю, взаимоконтролю. Воспитывать познавательную активность, стремления

расширять свой кругозор.

Тип урока: комбинированный.

1.Вопросы по проверке теоретического уровня знаний.

1. Какая последовательность называется арифметической прогрессией?

2. какая последовательность называется геометрической прогрессией?

3. Как вычислить разность арифметической прогрессии ?

4. Как вычислить знаменатель геометрической прогрессии?

5. Почему прогрессия называется арифметической?

6. Почему прогрессия называется геометрической?

7. Какому множеству чисел принадлежит число п ?

8. Запишите формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии (q≠1):

если известен первый член и знаменатель геометрической прогрессии;

если известен первый n член и знаменатель.

2. Математический диктант

1.У арифметической прогрессии первый член равен 5, второй член 7.

Найти разность d.

2. У арифметической прогрессии первый член равен 4, второй член 1.

Найти третий член.

3.У геометрической прогрессии первый член 10, второй 5. Найти знаменатель q.

4. У геометрической прогрессии первый член 6, второй 3. Найти третий член.

5. Найти десятый член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 1,

а разность d=3.

6.Найти четвертый член геометрической прогрессии, если ее первый член 1,

а знаменатель q= -2.

7. (Физика) Имеется радиоактивное вещество массой 256 г, масса которого

за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи?

8.(Биология) Бактерия за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий

будет в пробирке через 5 секунд?

1. Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии,

если ее первый член равен -1, а знаменатель 2.

1. Найти сумму первых четырех членов геометрической прогрессии: 2; -6;

Ответы

1 d=2

2. а₃ =-2

3. q=1/2

4. b₃=1,5

5. a₁₀=28

6. b₄=-8

7. 128, 64

8. 243

9. ­31

10. -40

3.Сейчас я вам предлагаю прорешать задачи.

Для их решения потребуются формулы, которые мы с вами повторили.

№651 (б),

№653(б).

4.Задания из сборника предназначенного для подготовки к итоговой аттестации в новой форме по алгебре в 9 классе.

5.Историческая справка

Сами по себе прогрессии известны так давно, что конечно, нельзя говорить о том, кто их открыл. Ведь уже натуральный ряд есть арифметическая прогрессия с первым членом, равным 1, и разностью, тоже равной 1. О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат.

6.Проверка домашнего задания

В старинной арифметике Магницкого приведена следующая забавная задача.

Некто продал лошадь за 156 руб.Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:

- Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь ,которая таких денег не стоит.

Тогда продавец предложил другие условия:

- Если по – твоему, цена лошади высока, то купи ее подковные гвозди; лошадь же тогда получишь в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего ¼к., за второй ½к., за третий 1к. и т.д.

Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условие продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10р.

На сколько рублей покупатель проторговался?

Решение.

Дано:

геометрическая прогрессия

b₁=1

q=2

Найти:

S₃₀

Решение:

S_n=

S₃₀= = 2³⁰ -1 = 1073741824 -1 =

= 1073741823 коп = 10737418 руб 23 коп

купец получил 3000000 руб

мужик - 10737418 руб 23 коп

разница составляет 7737418 РУБ 23 КОП !!!

Так кому выгодна эта сделка?

7.Выступление ученика . На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий Архимед. В печати же эти мысли отчетливо прозвучали лишь в 1544 г., когда вышла книга немецкого математика Михаила Штифеля «Общая арифметика». Штифель составил такую таблицу

В верхней строчке написана арифметическая прогрессия с разностью 1. В нижней строчке – геометрическая прогрессия со знаменателем 2.

Пример №1. Надо умножить ½  на 128. Обращаем внимание, что в таблице над ½ написано -1, а над 128 написано 7. Сложим эти числа, получим 6, а под шестеркой читаем 64. Это и есть искомое произведение.

Пример №2. Разделим 32 на 8. Обращаем внимание, что в таблице над 32 написано 5, а над 8 написано 3. Вычтем эти числа 5-3, получим 2, а под двойкой читаем 4. Это и есть искомое

Заметим, что с помощью таблицы можно возводить в степень и извлекать корни. Например, чему равно 4³? Против 4 читаем 2, умножаем 2 на 3, получаем 6, против 6 читаем 64, значит, 4³  = 64. А чему равен корень четвертой степени из 256? Делим 8 на 4, против 2 читаем 4, значит, корень четвертой степени из 256 равен 4.

Если вспомнить тождества а^m ×aⁿ=a^m+n и a^m:aⁿ=a^m-n, то нижнюю строчку таблицы Штифеля можно переписать так:

Теперь можно увидеть, что если показатели степени составляют арифметическую прогрессию, то сами степени составляют геометрическую прогрессию

8.Итог урока.

1.Что нового узнали на уроке?

2.Запишите формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии (q≠1): если известен первый член и знаменатель геометрической прогрессии; если известен первый n член и знаменатель.

3. Ответьте на вопрос: «Что каждого из вас получается хорошо при решении задач ?»

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

1. П. 28, № 654,656, 658;

2. примеры применения геометрической прогрессии в жизни (оформить в электронном виде).

3. А также прошу вас ответить на следующий вопрос:

При каком русском царе изучали математику в России по «Арифметике» Магницкого?

Все формулы мы с вами повторили.

Урок успешно завершили.

Литература

1. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. К.И. Нешков, с. Б Суворова ; под ред. С.А. Теляковского. Алгебра. Учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений. Москва. «Просвещение» 2012 г.

2. Лысенко Ф. Ф. Алгебра 9кл. Итоговая аттестация. Ростов-на-Дону. Издательство «Легион» 2015.