Методическая разработка программы курса по выбору ( факультатива) « Знай и повторяй математику» для 11 класса (Базовый профиль - 35 часов, углубленный профиль - 70 часов)

Наименование разделов и тем

Количество часов

Формы контроля

Всего

Теория

практика

1

2

3

4

5

Раздел 1. Числа и выражения

Т-1. Логарифм числа. Свойства логарифмов.

Т-2. Тригонометрические формулы.

Т-3. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

6

2

2

2

3

1

1

1

3

1

1

1

Комбинированный тест №3

Итого по разделу 1

6

3

3

Раздел 2. Уравнения и неравенства

Т-4. Решение иррациональных уравнений и неравенств.

Т-5. Показательные уравнения и неравенств.

Т-6. Логарифмические уравнения и неравенства.

Т-7.Тригонометрические уравнения (примеры тригонометрических неравенств).

Т-8. Решение более сложных уравнений и неравенств (общие методы).

10

2

2

2

2

2

5

1

1

1

1

1

5

1

1

1

1

1

Комбинированный тест №12

Комбинированный тест №7

Комбинированный тест №4

Итого по разделу 2

10

5

5

Раздел 3. Функции

Т- 9. Область определения и область значений функции. Свойства и графики функций.

Т-10. Производная. Геометрический и физический смысл производной

Т-11. Применение производной к исследованию функций.

Т-12. Интеграл и его применение.

Т-13. Уравнения и неравенства с двумя переменными.

13

3

2

3

3

2

5

1

1

1

1

1

8

2

1

2

2

1

Комбинированный тест №8

Итого по разделу 3

13

5

8

Раздел 4. Элементы комбинаторики, начала теории вероятностей и элементы статистики

Т-14. Элементы комбинаторики.

Т-15. Начала теории вероятностей.

Т-16. Элементы статистики.

6

2

2

2

3

1

1

1

3

1

1

1

Комбинированный тест №9

Итого по разделу 4

6

3

3

Раздел 5. Геометрия

Т-17. Основные понятия стереометрии. Параллельность в пространстве.

Т-18. Перпендикулярность в пространстве. Углы и расстояния в пространстве.

Т-19. Призмы, их виды и свойства.

Т-20. Пирамида и ее свойства.

Т-21. Цилиндр и его свойства.

Т-22. Конус и его свойства.

Т-23. Сфера и шар. Комбинация сферы (шара) с геометрическими телами.

Т-24. Декартовы координаты.

Т-25. Векторы и операции над ними.

35

3

4

4

4

4

4

4

4

4

9

1

1

1

1

1

1

1

1

1

26

2

3

3

3

3

3

3

3

3

Комбинированный тест №11

Итого по разделу 5

35

9

26

Всего

70

25

45

Раздел программы

Кол-во часов

Основные темы и вопросы для повторения

Кол-во часов

Что знать и уметь применять (основное содержание тем)

1

2

3

4

5

Раздел 1 Числа и выражения

6

1. Логарифм числа

1) Определение логарифма числа

2

Логарифм положительного числа b по основанию а (а ) – показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b.

2) Основное логарифмическое тождество

3) Свойства логарифмов и формулы логарифмирования (а

1)

2)

3)

4)

5)

6) Формула перехода к логарифму с новым основаним

b

7)

2. Основные тригонометрические формулы.

1) Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента

х ²+у²=1; соsα=x; sinα=y

2

- основное тригонометрическое

тождество

=1

2) Тригонометрические функции двойного аргумента

3) значения тригонометрических функций некоторых аргументов

4) Формулы суммы (разности) аргументов

5) Формулы приведения

6) Формулы суммы и разности тригонометрических функций

7) Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

8) Формулы преобразования выражения аsinα +всоsα

аsinα + всоsα = sin(α+ ), где аргумент определяют из соотношений сos ,

sin ,

3..Арксинус,арккосинус, арктангенс, арккотангенс

2

1. определение

Арксинус числа а – это угол (число) t из промежутка синус которого равен а:

т.е. arcsina=t означает, что и sint=a

Арккосинус числа а – это угол (число) t из промежутка косинус которого равен а:

т.е. arccosa=t означает, что и cost=a

Арктангинс числа а – это угол (число) t из промежутка тангенс которого равен а:

т.е. arctga=t означает, что и tgt=a

Аркотангенс числа а – это угол (число) t из промежутка которого равен а:

т.е. arcctga=t означает, что и ctg=a

1. основные соотношения для аркфункций

sin(arcsina)=а, cos(arccosa) =а, а ;

tg(arctga) = а,сtg(arcсtga) = а, а R;

arcsin(-a) = - arcsina; arccos(-a) = - arccosa;

arctg(-a) = - arctga; arcсtg(-a) = - arcсtga

arcsin (sin ) = , ;

arccos (cos ) = , ;

arctg (tg ) = , ( );

arcсtg (ctg ) = , ( ).

arcsina+ arccosa= ,а

arctga + arcсtga= .

1. некоторые соотношения для аркфункций

arcsin x = arccos = arctg , 0 ;

arccos x = arcsin = arctg = arcctg , 0 ;

arctg x = arcctg = arcsin = arccos , x

arcctg x = arctg = arcsin = arccos , x

Раздел 2 Уравнения и неравенства

14

4.Решение иррациональных уравнений и неравенств

2

1)Основные способы решений иррациональных уравнений

- с помощью возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень ( при возведении обеих частей уравнения в чётную степень могут появиться посторонние корни, которые отбрасывают проверкой)

-с помощью замены переменных ( введение вспомогательной переменной)

2) Решение иррациональных неравенств

- метод интервалов (для неравенств вида (f(x) :

1.Найти ОДЗ неравенства.

2.Найти нули функцииf(x) : (f(x) = ).

3. Отметить нули функции на ОДЗ и найти знак функции f(x) на каждом промежутке, на которые разбивается ОДЗ.

4. Записать ответ, учитывая знак неравенства.

3)Равносильные преобразования иррациональных неравенств

1.При возведении обоих частей неравенства в нечётную степень (с сохранением знака неравенства) получаем неравенство, равносильное данному ( на ОДЗ данного неравенства).

2.Если обе части неравенства неотрицательны, то при возведении их в чётную степень (с сохранением знака неравенства) получаем неравенство, равносильное данному ( на ОДЗ данного неравенства).

3.Если на ОДЗ данного неравенства какая- либо его часть может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то прежде чем возводить обе части неравенства в чётную степень, эти случаи надо рассмотреть отдельно.

или

5.Показательные уравнения и неравенства

2

1)Простейшие показательные уравнения и равносильные преобразования в них

= ( равносильно f (x)

. = b ( ; x = .

2)Приведение некоторых показательных уравнений к простейшим

1.Если в левой и правой части уравнения имеется только произведение, частное, корни или степени, то с помощью основных формул записываются обе части уравнения как степени с одинаковым основанием.

2.Если в одной части показательного уравнения все члены имеют выражение вида ( показатели степеней отличаются только свободными членами), а в другой части стоит число, то в этом случае выносится за скобку наименьшая степень .

3)Более сложные показательные уравнения и их системы

а)Замена переменной в показательном уравнении.

1.Избавляемся числовых слагаемых в показателях степеней( используя справа налево основные формулы действий со степенями)

2.Приводим все степени ( с переменной в показателе) к одному основанию и вводим новую переменную.

3.Если степени не приводятся к одному основанию, то приводятся все степени к двум основаниям так, чтобы получить однородное уравнение( которое можно решить делением обоих частей уравнения на наибольшую степень одного из видов переменных).

б)Разложение левой части на множители( при этом правая часть должна быть равна нулю).

4)Показательные неравенства

а)Показательная функция у = ( её свойства и график.

Применение свойств возрастания ( убывания) показательной функции для сравнения выражений ≷ ; если ,

если 0 и .

б)Равносильный переход в простейших показательных неравенствах

1.При равносильно f(x) –знак неравенства сохраняется

2. При 0 равносильно f(x) – знак неравенства меняется на противоположный

в).Более сложные показательные неравенства

1.С помощью равносильных преобразований ( по схеме решения показательных уравнений) неравенство приводится к неравенству известного вида( квадратному, дробному). После решения полученного неравенства решается простейшее показательное неравенство.

2.Общий метод интервалов, приводя данное неравенство к виду f(x) :

1.Найти ОДЗ.

2) Найти нули функцииf(x).

3)Отметить нули функции на ОДЗ и найти знак f(x) на каждом из промежутков, на которые разбита ОДЗ.

4)Записать ответ, учитывая знак неравенства

6. Решение логарифмических уравнений и неравенств

2

1.Простейшие логарифмические уравнения

Если - число ( и ), то =c равносильно f(x) =

2.Применениеуравнений - следствий

Если из допуска того, что первое равенство заданного уравнения верное, следует верность каждого следующего равенства, что гарантированно получается уравнение- следствие. При этом корни начального уравнения не теряются, но возможно появление посторонних корней. Поэтому проверка корней подстановкой в начальное уравнение обязательна.

3.Равносильные переходы в логарифмических уравнениях

1)Замена переменных ( пример )

2)Уравнение вида = ); = равносильно

3)Потенцирование в логарифмических уравнениях.

а) Учитывается ОДЗ заданного уравнения ( избегаем преобразований, которые сужают ОДЗ)

б) На ОДЗ каждое преобразование выполняется в прямом и обратном направлениях с сохранением верного равенства

Пример:

4.Решение логарифмических неравенств

1) Логарифмическая функцияy = ( и ) , её свойства и график

≷ . если

2) Равносильные переходы простейших логарифмических неравенств

1) равносильно или

(знак неравенства не меняется , учитывая ОДЗ)

2. 0 равносильно или

( знак неравенства меняется, учитывая ОДЗ)

3) Более сложные логарифмические неравенства

1)С помощью равносильных преобразований данное неравенство приводится к неравенству известного вида. Пример:

2)Применение общего метода интервалов (заданное неравенство приводится к видуf(x) ) по известной схеме. Пример:

7.Тригонометрические уравнения

2

1) Простейшие уравнения и .

. При или а

При arc +

Частные случаи:

x = k ,

, x = + ,

, x = +

2. , При корней нет.

При arc +

Частные случаи:

x =

= 1, x = 2

= -1, x =

2) Простейшие уравнения , =

, x = arctg +

, х =

2. = , x = arcctg a +

Особый случай: = , x = + .

3) Схема решения более сложных тригонометрических уравнений

1)Все тригонометрические функции с помощью формул тригонометрии сводятся к одной функции с одним аргументом ( если это возможно).

2)Если привести к одной функции не удалось, пробуем уравнение привести к однородному.

3) В других случаях переносим все члены уравнения в одну часть и пробуем разложить на множители или применяем специальные приёмы решения.

4) Примеры решения простейших тригонометрических неравенств

Используем графики тригонометрических функций или единичную окружность.

8. Решение более сложных уравнений и неравенств (некоторые общие методы)

2

Применение свойств функций к решению уравнений.

1)Уравнение с конечной ОДЗ:

Если ОДЗ уравнения ( неравенства ) состоит из конечного числа значений, то для решения достаточно проверить все эти значения.

Пример: ( ОДЗ:x =

Ответ: x=1 – корень ( проверяется подстановкой).

2)Оценка левой и правой части уравнения:

равносильно

Если в уравнении оказалось , что , то равенство в уравнении возможно только тогда, когда и одновременно.

Пример : 1 - = . Ответ : 0

3)Применение возрастания и убывания функций.

Теоремы о корнях уравнения:

Т-1. Если в уравнении функция f(x) возрастает ( убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не более одного корня на этом промежутке.

Т-2.Если в уравнении функция возрастает на некотором промежутке, а функция убывает на этом же промежутке( или наоборот), то это уравнение может иметь не более одного корня на этом промежутке.

Схема решений:

1.Подбираем один или несколько корней уравнения.

2.Доказываем , что других корней это уравнение не имеет( используя Т-1, Т-2 ( см. выше) или оценку левой и правой частей уравнения)

Раздел 3 Функции

13

9. Область определения и область значений функции. Свойства и графики функций.

3

1) Нахождение области определения функции

2) Периодичность функции

Функция f(x) периодическая с периодом если для любогоx ( ) числа( x + T)и (x -T)также принадлежат и выполняется равенство:

ЕслиT – период функции, также периоды этой функции(k и T- наименьший её положительный период.

Функции иcosx имеют период T = 2

Функции и имеют период T =

Если функцияy = f(x) периодическая с периодомT, то функцияy = Af(kx + b) также периодическая с периодом , где A, k, и b некоторые числа иk

3)Обзор основных видов функции

1) Линейная функция y = kx +b

2) Степенная функцияy =

3) Показательная функция

(

4) Логарифмическая функцияy= (

Взаимно обратные функции

5) Тригонометрические функции

y =sinx,y =cosx ,y = , y =

Построение графиков функций и их свойства

10.Производная.Геометрический и физический смысл производной.

2

1) Определение производной

y = f(x); = т.е. Производная – предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Дифференцирование – операция нахождения производной

2) Физический смысл производной

S = S(t) – зависимость пути от времени

V = S′(t) – скорость прямолинейного движения

- ускорение прямолинейного движения

Вообще, производная любой функции – это скорость изменения функции.

3) Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции y = f(x)

– угол наклона касательной к оси Ох.

- абсцисса точки касания прямой с графиком

Тогдаf ) = = k ( k– угловой коэффициент касательной)

y= ) уравнение касательной к графику функцииy = f(x) в точке с абсциссой .

4) Правило дифференцирования и таблица производных.

1)(C)′ = 0 C

2) (Cu)′ =C u′

3)(u v )′ = u′ v′

4)(u = u +u·v′

5)( )′ =

6)Сложная функция :если y = f (u) иu (x), т. е. y = f (u(x)), тоf (u(x))′ = (u)·

11.Применение производной к исследованию функций

3

1) Применение производной для нахождения промежутков возрастания и убывания функции

1.Достаточное условие возрастания функции

(Если в каждой точке интервала (а,в)f′(x) f(x) возрастает на этом интервале).

2.Достаточное условие убывания функции

( Если в каждой точке интервала (а,в)f′(x) , то функция f(x) убывает на этом интервале)

3.Необходимое и достаточное условие постоянства функции

( Функция f(x) является постоянной на интервале (а,в) тогда и только тогда, когда f′(x) во всех точках интервала

2) Применение производной для нахождения экстремумов функции

1.Точки максимума функции.

Точка из области определения функцииf(x) - точка максимума этой функции, если для всех из окрестностей выполняется неравенствоf(x)

= – точка максимума.

2.Точки минимума функции.

Точка из области определения функцииf(x) - точка минимума этой функции, если для всех из окрестностей выполняется неравенствоf(x)

= – точка минимума.

3.Критические точки функции.

Критические точки функции - это внутренние точки её области определения , в которых

+ производная функции равна нулю или не существует.

4. Необходимые и достаточные условия экстремума.

- в точках экстремума производная функции f(x) равна нулю или не существует ( однако не в каждой точке , где f′(x) = 0 или f( ) не существует, будет экстремум)

- если функция f(x) непрерывна в точке и производнаяf′(x) меняет свой знак при переходе через точку то – точка экстремума функции.

а) в точке знак f′(x) изменяется с„ +“ на „ -“ - - точка максимума.

б) в точке знак f′(x) изменяется с„ - “ на „ +“ - - точка минимума.

4. Точки экстремума – точки максимума и минимума функции.

5. Экстремумы (максимум и минимум функции) – значения функции в точках максимума и минимума:

= f( ) = f( ) – максимум

= f( ) = f( ) – минимум

3) Наибольшие значения функции на отрезке.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке и имеет на нём конечное число критических точек, то она принимает наибольшее и наименьшее значения на этом промежутке или в критических точках , которые принадлежат этому отрезку, или на концах отрезка.

12. Интеграл и его применение

3

1) Первообразная

Функция F(x) - первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежуткаF′(x) = f(x)

( Пример:F(x) = - первообразная для функции f(x) = 2 xт.к.F′(x) = ( )′ = 2x =f(x) на ( - ).

2) Основное свойство первообразной

Если F(x) – первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечное число первообразных и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С , где С – произвольное число.

3) Три правила вычисления первообразных

1.Первообразная суммы функций равна сумме первообразных, т.е. если F(x) – первообразная для f(x), а G(x) – первообразная для g(x), то F(x) + G(x) = f(x) +g(x).

2.Постоянный множитель можно выносить за знак первообразной , т.е. еслиF(x) – первообразная для функцииf(x) и С – постоянное число , то СF(x) – первообразная для функции Сf(x).

3.Если F(x) – первообразная для f(x) и k b - число, то F( kx + b) - первообразная для функцииf ( kx + b).

4) Неопределенный интеграл

1.СовокупностьF(x) + С всех первообразных для данной функцииf(x) – неопределённый интеграл от функцииf(x) : dx =F(x) + С.

2.Основные правила интегрирования

1) = + .

2) .

3) Если k иk,b– числа, то = F( kx + b) + C.

5) Таблица первообразных

6) Определённый интеграл и его применение

1. Определение: Пусть у =f(x) – непрерывная функция, определенная на промежутке[a;b]. Тогда определённый интеграл от а до b функцииf(x) – это приращение первообразной F(x) для этой функции,

т.е. = F(b) – F (a) – формула Ньютона – Лейбница.

2.Основные правила вычисления определённого интеграла:

1) c , (c - число)

2)

3)

4)

5)

6) +

7) Геометрический смысл определённого интеграла

S = площадь S криволинейной трапеции (фигура , ограниченная графиком непрерывной положительной на промежутке [a;b] функцииf(x), осью Ох и прямыми )

8) Физический смысл определённого интеграла

S = путь при прямолинейном движении за время от со скоростью

9) Площадь фигуры

S =

10) Объём тела вращения

V= (x)dx

13.Уравнения и неравенства с двумя переменными

2

1) Определение

Уравнение( неравенство), которое имеет две переменные: f(x;y) = 0 ( f(x;y)

Решение уравнения f(x;y) = 0 ( неравенстваf(x;y) ) – упорядоченная пара чисел( ,) которая обращает его в верное равенство( числовое неравенство).

2) Графики

+ = окружность с центром в точке (0;0) и радиусом R.

2. + = окружность с центром в точке и радиусом R

3. + by + c = 0 - прямая, с координатами точек пересечения осей ;0) и ( 0; )

4. + bx + c ( парабола с вершиной в точке с координатами ( при -ветви вверх, - ветви вниз).

5. - парабола с вершиной ( ; ( при

6. + =1 квадрат с центром в точке ( 0;0); диагонали квадрата лежат на осях Ох и Оу ( т.е. вершины квадратов в точках (1;0) ;(0;1; ( -1 ;0); (0 ;-1).

3) Графики некоторых неравенств

+ круг с центром в точке (0;0) и радиусом R.

2. + плоскость вне круга с центром в точке (0;0) и радиусом R.

3. - полуплоскость над прямой

4. - полуплоскость под прямой

Раздел 4

Элементы комбинаторики, начала теории вероятностей и элементы статистики

6

14.Элементы комбинаторики

2

1) Перестановка (без повторений)

Перестановка изn элементов – любое упорядоченное множество из nэлементов, т.е. такое множество, в котором указано, какой элемент на первом месте , какой – на втором…, какой на n -м.

Формула числа перестановок

2)Размещение (без повторений)

Размещение из nэлементов поk - это любое упорядоченное множество из kэлементов, составленное из элементов n– элементного множества

Формула числа размещений

3)Комбинация (без повторений)

Комбинация без повторений из n элементов по k- это любое k-элементное подмножество n- элементного множества

Формула числа комбинаций

Причём: 1) по определению

2)

3) +

4) Два правила применяемые при решении комбинаторных задач

1) Правило суммы:если элемент А можно выбрать m способами, а элемент В- n способами, то А или В можно выбрать(m+n) способами.

2)Правило произведения: если элемент А можно выбрать m способами, а после этого элемент В- n способами, то А и В можно выбрать(m n) способами.

15.Начала теории вероятностей

2

1) Случайные события

Событие, которое может произойти, а может и не произойти в процессе наблюдений или эксперимента в одних и тех же условиях, называется случайным событием( а сам эксперимент – случайным экспериментом)

2) Частота и относительная частота случайного события

Если при неизменных условиях проведено n случайных экспериментов и в n(А)случаев осуществилось событие А , то числоn (А)- частота события А.

Отношение – относительная частота случайного события

3) Статистическое понятие вероятности

Если при проведении большого количества случайных экспериментов, в каждом из которых событие А может произойти, а может и не произойти, значение относительной частоты близки к некоторому числу, то это число – вероятность случайного события А : .

Невозможное событие ( не происходит ни при каком повторении эксперимента Р .

Событие U, которое обязательно произойдёт в каждом повторении эксперимента Р(U) = 1

4) Классическое определение вероятности

Для равновозможных элементарных событий вероятность события А – это отношение количества благоприятных для неё событий ( m) к количеству всех равновозможных событий (n) в данном эксперименте: .

16.Элементы статистики

2

1) Статистические характеристики рядов данных

1.Ранжирование ряда данных –расположение элементов этого ряда в порядке возрастания, т.е. каждое следующее число или больше, или не меньше предыдущего.

2.Размах выборки (R) – это разность между наибольшим и наименьшим значениями случайной величины выборки.

3.Мода ( МО) – значения случайной величины, которые встречаются чаще всего.

4.Медиана ( МЕ) – т.н. серединное значение упорядоченного ряда значений случайной величины.

5.Среднее значение( )случайной величины x – среднее арифметическое всех её значений.

а) ( )= ,если случайная величина х имеетn значенийх₁,х₂…х_n.

б) , если случайная величина Х имеет значения х₁,х₂…х_n., а их частоты

m₁,m₂…m_nсоответственно.

2) Графическое изображение распределения случайных величин

Полигон частот - ломаная, отрезки которой последовательно соединяют точки(х₁;m₁), (x₂; m₂) …(x_n;m_n), где х₁,х₂…х_n.- значения случайных величин, m₁,m₂…m_n– соответствующие им частоты

Раздел 4 Геометрия

17.Основные понятия стереометрии

Параллельность в пространстве

3

1)Аксиомы стереометрии

1.Аксиомы: принадлежности точек плоскости; пересечения двух плоскостей, существования плоскости.

2)Параллельность прямой и плоскости

1.Определение прямой, параллельной плоскости

2.Признак параллельности прямой и плоскости

3. Свойство прямой, параллельной плоскости

- если ‖α и причём то ‖b

3) Параллельность плоскостей

1.Определение параллельных плоскостей.

2.Признак параллельности плоскостей:

- если две пересекающиеся прямые одной плоскости

соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

3.Свойства параллельных плоскостей:

- параллельность двух плоскостей третьей плоскости

- параллельность прямых пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью

- равенство отрезков параллельных прямых,пересекающих параллельные плоскости.

4.Правила параллельного проектирования при изображении пространственных фигур на плоскости:

- отрезок проектируется в отрезок;

- проекция параллельных прямых ( отрезков) – параллельные прямые ( отрезки);

- если M - точка отрезка AB , аM₁ - точкаA₁B₁ проекцииAB, то =

18.Перпендикулярность в пространстве. Углы и расстояния в пространстве.

3

1)Перпендикулярность прямой и плоскости

1.Определение.

2.Признак перпендикулярности прямой и плоскости:

⊥α, если ⊥bи ⊥c( b и c – две пересекающиеся прямые плоскости α).

3.Свойства:

- если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна этой плоскости;

- две прямые, перпендикулярные к плоскости, параллельны;

- прямая, перпендикулярная к одной из параллельных плоскостей, перпендикулярна другой плоскости;

- если каждая из двух плоскостей перпендикулярна прямой, то плоскости параллельны.

2)Перпендикуляр и наклонная.

1.Определение:

1)AO⊥α; O α; B α; AB- наклонная, OB -проекция наклоннойAB на плоскость α.

2)Отрезок AO - перпендикуляр;

AO – расстояние от точки A

• до плоскости α;

• до прямой .

2.Свойства:

- перпендикуляр из точки А к плоскости α короче любой наклонной, проведённой из той же точки А к плоскости α.

- две наклонные, проведённые из точки А к плоскости α

а) равны, если равны их проекции и наоборот;

б) большая наклонная имеет большую проекцию и наоборот.

3)Теорема о трёх перпендикулярах

OB- проекция наклонной AB на плоскость α, c – прямая на плоскости α, проходящая через основание В наклонной ABи OB⊥c, тогда и AB⊥c ( и наоборот)

4)Перпендикулярность двух плоскостей

1.определение перпендикулярных плоскостей.

2.Признак перпендикулярности двух плоскостей:

- если прямаяb⊥α и β проходит через прямую b, то β ⊥α.

3. Свойство перпендикулярных плоскостей:

-если β⊥α и β пересекает α по прямой и проходит через прямую b, причёмb⊥ , то b⊥α.

5)Углы в пространстве

(рис. 1)

(рис. 2)

(рис. 3)

1.Угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

2.Угол между скрещивающимися (рис. 1) прямыми: –скрещивающееся прямые

‖ ; ‖b; O=

∠( =∠( ( 0 .

3.Угол между плоскостями: α ; γ ⊥с .

Тогда угол между плоскостями – это угол между прямыми, по которой плоскость γпересекает плоскости α и β.

4.Двугранный угол (угол между полуплоскостями) (рис. 2):

1)определение двугранного угла:

α ( с – ребро), полуплоскости α и β – грани двугранного угла ∠αсβ

2.Линейный угол двугранного угла(рис. 3):

γ ⊥ c, (γ ∩ α =MA, γ ∩ β =MB)

∠ AMB– линейный угол двугранного угла αcβ- свойство : плоскость γ⊥α и γ⊥β.

3. Практические способы построения линейного угла

6) Расстояния в пространстве

1.Расстояние от точки до плоскости.

2.Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью ( расстояние от любой точки этой прямой до плоскости, - т.е. длина перпендикуляра , опущенного из любой точки прямой на плоскость).

3.Расстояние между параллельными плоскостями – расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости, т.е. длина перпендикуляра , опущенного из любой точки одной плоскости , на другую плоскость.

4.Расстояние между скрещивающимися прямыми – длина общего перпендикуляра к этим прямым.

19.Призмы , их виды и свойства.

3

1)Произвольная ( наклонная) призма

1.Определениепроизвольной призмы,( наклонной призмы), её оснований, боковых рёбер, боковых граней, диагоналей и высоты

2.Сойства:

1)Основания призмы – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях.

2)Боковые рёбра призмы параллельны и равны.

3)Боковые грани призмы – параллелограммы.

4) V = S_осн. H

5) S бок. = P_{перпен.сеч.}· AA₁ (AA₁–бок.ребро) или S бок. – сумма площадей всех боковых граней.

6)S_пол. = S_бок. +2S_осн.

2) Прямая призма.

1.Определение прямой призмы ( все бок.рёбра перпендикулярны основаниям).

2.Свойства прямой призмы:

1)Высота призмы – любое боковое ребро,

2)Боковые грани – прямоугольники,

3) V = S_осн. H = S_осн. AA₁(AA₁ –бок. ребро),

4) ) S бок. = P_осн.· AA₁ (AA₁ –бок.ребро),

5)S_пол. = S_бок. +2S_осн.

3)Правильная призма

1.Определение ( прямая призма, основание которой правильный многоугольник)

2.Свойства правильной призмы:

1)Высота призмы – любое боковое ребро,

2)Боковые грани – прямоугольники,

3) V = S_осн. H = S_осн. AA₁(AA₁ –бок. ребро),

4) ) S бок. = P_осн.· AA₁ (AA₁ –бок.ребро),

5)S_пол. = S_бок. +2S_осн.

4)Параллелепипеды:

1.Произвольный ( наклонный)

1.Определение – призма, основания которой параллелограммы.

2. Свойства:

1)Все грани - параллелограммы.

2)Противолежащие грани параллельны и равны.

3)Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке О и делятся ею пополам( О – центр симметрии параллелепипеда)

2.Прямой параллелепипед

1.Определение – параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, т.е. боковые грани – прямоугольники.

2.Свойства:

1)Все боковые грани - прямоугольники.

2)Противолежащие грани параллельны и равны.

3)Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке О и делятся ею пополам( О – центр симметрии параллелепипеда)

3.Прямоугольный параллелепипед

1. Определение – параллелепипед, у которого все грани- прямоугольники ( a,b,c – измерения, три ребра , имеющие общую вершину.

2. Свойства прямоугольного параллелепипеда:

1) = ( -измерения, d –диагональ)

2) V=

3) S бок. = P_осн.· AA₁ =2(

4) ) S_пол. = S_бок.+2S_осн.

4.Куб

1.Определение ( куб – прямоугольный параллелепипед, все измерения которого равны ).

2.Свойства куба:

1)Все грани – равные квадраты со стороной ,

2)Диагональ куба ,

3) V = ,

4)S_бок = 4 ; S_полн = 6

20. Пирамида и её свойства.

3

1. Произвольная пирамида

1.Определение, элементы пирамиды ( основание, вершина, боковые ребра и боковые грани, высота пирамиды, углы (плоские при вершине, между боковым ребром и плоскостью основания, двугранные при ребрах основания)

2. Свойства:

1)V_пир = S_осн. H.

2)S_бок - сумма площадей боковых граней,

S_пол. = S_бок. +S_осн.

1. Правильная пирамида

1.Определение правильной пирамиды ( основание -

правильный многоугольник,основание высоты пирамиды – центр этого многоугольника).

2.Свойства правильной пирамиды:

1)Все боковые рёбра равны и наклонены к плоскости основания под одним углом,

2)Все боковые грани – равные равнобедренные треугольники, плоскости которых наклонены к плоскости основания под одним углом.

Апофема пирамиды – высота её боковой грани.

5)V_пир = S_осн. H. 3)S_бок= P_осн 𝒍(𝒍 – апофема)

S_бок = ( - уголнаклонабоковых граней к основанию),

S_бок= S_{бок грани} (n- количество боковых граней),

4)S_пол. = S_бок. +S_осн.

3)Особенности высот в некоторых пирамидах

1.Если все боковые рёбра равны, или наклонены к плоскости основания под одним и темже углом , или образуют с высотой пирамиды равные углы

- то основание пирамиды является центром окружности, описанной около основания пирамиды ( и наоборот).

2.Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию

– то основание высоты пирамиды является центром окружности, вписанной в основание ( и наоборот). Для таких пирамид :S_бок = , где - угол наклона боковых граней к плоскости основания пирамиды,

3)Если лишь одна боковая грань пирамиды перпендикулярна к плоскости основания

- товысотой пирамиды является высота этой грани.

4)Если две смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания

- то высотой пирамиды является их общее боковое ребро.

21.Цилиндр.

3

1)Определение и свойства

1.Определение прямого кругового цилиндра. Элементы цилиндра: основания, образующие, высота.

2.Свойства цилиндра:

1)Основание цилиндра - круги одинакового радиуса, лежащие в параллельных плоскостях.

2)Образующие цилиндра параллельны и равны.

3)Высота цилиндра равна образующей.

4)Цилиндр как тело вращения, полученное вращением прямоугольника ОАА₁О₁ вокруг стороны ОО₁ (ОО₁ –ось вращения, ОА =ОА₁ = R- радиус цилиндра, ОО₁ = АА₁=H- его высота).

5)S_осн = ; S_бок= 2πRH; S_пол. = S_бок.+2S_осн.= = 2πR (H + R ).

6) V_цил. = S_осн H = π H

2)Сечение цилиндра плоскостью

1. Осевое сечение.

2. Сечение плоскостью, параллельной его оси.

3. Сечение плоскостью, параллельной основанию.

4. Плоскость, касательная к цилиндру, если она проходит через образующую и перпендикулярна к плоскости осевого сечения, которая содержит эту образующую.

22.Конус и его свойства

3

1)Определение конуса , его элементы.

1.Определение конус. Элементы – вершина , основание, образующие, высота.

2)Свойства конуса

1) Все образующие равны между собой.

2) Высота конуса H = SO (S– вершина, O –центр основания)

3) Конус как тело вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов

4) S_осн = ; (R- радиус основания);S_бок= πR𝒍(𝒍 – образующая)S_пол. = S_бок.+S_осн.=πR (𝒍 + R ).

5) V_кон = S_осн. H = H.

3)Сечения конуса плоскостью

1. Осевое сечение.

2. Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину.

3. Сечение конуса плоскостью, параллельной его основанию. Усечённый конус.

4. Плоскость, касательная к конусу

23.Сфера и шар

3

1)Определение сферы и шара

1.Определение сферы ( О – центр сферы, А – точка сферы, ОА =R –радиус)Sсф. =4 .

2.Определение шара. V_ш. =

2)Сечение шара плоскостью

1.Любое сечение шара плоскостью – круг

2.Центр сечения – основание перпендикуляра из центра шара на плоскость сечения:

О –центр шара, О₁ – центр круга сечения, А – точка окружности сечения:

ОО₁⊥α ( α – плоскость сечения); ∆ ОО₁А – прямоугольный и АО₁ =R_сеч. = .

3.Сечение, которое проходит через центр шара – большой круг: R_{, бол. круга} = R_шара.

3)Плоскость, касательная к шару

1.Определение.

4)Шар, описанный около призмы

1.Определение: шар, описан около прямой призмы, если все вершины призмы лежат на поверхности шара.

- шар можно описать только около прямой призмы, около основания которой можно описать окружность. О –центр шара, точка, равноудалённая от плоскостей оснований и от вершин призмы.

5) Шар, вписанный в призму

1.Определение шара , вписанного в прямую призму ( все грани призмы касаются этого шара).

2. Центр шара , вписанного в прямую призму - это середина отрезка, соединяющего центры окружностей, вписанных в основания призмы

(радиус шара равен радиусу этой окружности, а диаметр шара равен высоте призмы).

6) Шар, описанный около пирамиды

1.Определение шара, описанного около пирамиды( если все вершины пирамиды лежат на поверхности шара)

Пирамида, вписанная в шар, у которой основание высоты –центр окружности, описанной около её основания.

7) Шар, вписанный впирамиду

1.Определение шара, вписанного в пирамиду.

2.Пирамида, описанная около шара, у которой основание высоты – центр окружности, вписанной в основание пирамиды

24.Декартовые координаты .

2

1)Декартовые координаты

1. На плоскости:

В пространстве:

2)Координаты середины отрезка

На плоскости: A ( ; ),B( ; ),C- середина AB:

= ; = .

В пространстве:

A ( ; ; ),B( ; ) С- середина AB:

= ; = ; = .

3)Расстояние между точками

На плоскости: AB =

В пространстве:AB =

4)Уравнение окружности на координатной плоскости

+ = , где R – радиус окружности, ( b) – координаты её центра

+ = - окружность радиуса R с центром в начале координат

5) Уравнение сферы в координатном пространстве

+ = , гдеR- радиус сферы . ( b;c) – координаты её центра,

+ = –сфера радиусаR с центром в начале координат

25.Векторы и действия над ними

3

Определение вектора, как направленного отрезка, модуль ( длина, абсолютная величина) вектора

1)Координаты вектора

На плоскости: = , где A₁ ( ; ) – начало, А₂( ; )– конец вектора –

= ( ₁, ₂) , где ₁ = , ₂ = и =

В пространстве: = , где A₁ ( ; ) – начало, А₂( ; ) – конец вектора –

= ( ₁, ₂, ) , где ₁ = , ₂ = и = .

2) Равные векторы

1.Определение

= , если = и и – одинаково направлены.

2.В координатах: на плоскости

и .

В пространстве:

;

3)Коллинеарные векторы

1.Определение коллинеарных векторов.

2.Условие коллинеарности векторов ( в координатах)

, если , т.е. = = (т.е.соответствующие координаты пропорциональны)

4)Операции над векторами

1. сумма векторов

1.Сумма векторов на плоскости:

1) Правило треугольника: + =

2)Правило параллелограмма

В координатах:

= ( + ; )

3) Сумма векторов в пространстве – правило параллелепипеда = + + = + +

В координатах: ; = ( + ; ;

2.Разность векторов

2. Разность векторов 1) - =

2)В координатах на плоскости:

= ( ; )

3)В координатах в пространстве:

; ( ; ;

3. Умножение векторов

3.Умножение вектора на число λ

1) = λ , тогда = и при

вектор λ и вектор - сонаправлены,

вектор λ и вектор противоположно направлены.

2)В координатах на плоскости: = .

3) В координатах в пространстве:

=

4.Скалярное произведение векторов

4. .Скалярное произведение векторов

1). = ( - угол между векторами и )

2) В координатах на плоскости:

= + .

В координатах в пространстве:

; = + . + .

3)Некоторые свойства скалярного произведения: -

= ( - угол между векторами и )

- если = 0 ( и , то ⊥

- если 0 ( и , то -острый угол

- если 0 ( и , то-тупой угол.