Задания
школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике
2019-2020 учебный год
Время выполнения – 60 минут
Максимальное количество баллов –35 баллов
6 класс
Задача №1
Длина ребра куба -0,5м. Этот куб разрезали на кубики, длина ребра каждого из которых равна 2мм. Затем кубики уложили в один сплошной ряд. Чему равна его длина?
(7 баллов)
Задача №2
Ровно в 7:00 из дворца выехала почтовая карета. Через 3 часа во дворце вспомнили, что забыли послать с каретой ценное письмо, и послали гонца догонять карету. Известно, что карета едет со скоростью 10 км/ч, а гонец скачет со скоростью 25 км/ч. Гонец догнал карету, отдал письмо и поскакал назад. Приехав, он узнал, что надо отправить еще одно письмо, и ему пришлось еще раз догонять карету. Сколько времени было, когда гонец вернулся во второй раз, если скорость гонца и кареты остается прежней?
(7 баллов)
Задача №3
Наименьшее общее кратное двух чисел равно 240, а их наибольший общий делитель равен 8. Найдите эти числа, если известно, что меньшее из чисел содержит только один множитель 5, не входящий в большее число.
(7 баллов)
Задача №4
Имеется три листа бумаги. Некоторые из них разрывают на три части. Из полученных листов некоторые снова разрывают на три части и так далее. При подсчете оказалось 34 листка. Правильно ли был произведен подсчет?
(7 баллов)
Задача №5
Есть две кучки по 2019 конфет. Таня и Ваня ходят по очереди. Начинает Таня. За один ход Таня может взять 4 или 5 конфет, но все из одной кучки, а Ваня – ровно 5 конфет, но они не обязаны быть из одной кучки. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кому из игроков соперник не может помешать выиграть и какова его стратегия?
(7 баллов)
Решение заданий
школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике
2019-2020 учебный год
6 класс
Критерии оценивания
Задания математических олимпиад являются творческими, допускают несколько различных вариантов решений. Кроме того, необходимо оценивать частичные продвижения в решении задач. Наконец, возможны как существенные, так и не влияющие на логику рассуждений, ошибки в решениях.
Окончательный балл по каждой задаче должен определяться с учетом выше изложенного. В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад школьников каждая задача оценивается исходя из 7 баллов.
Соответствие правильности (ошибочности) решения и выставляемых баллов:
7 баллов – полное верное решение;
6 баллов – верное решение, но имеются небольшие недочёты, в целом не влияющие на решение;
5 баллов – решение в целом верное, однако содержит ряд ошибок, но может стать правильным после небольших исправлений и дополнений;
4 балла – верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев, или в задаче типа «оценка + пример» верно получена оценка;
2-3 балла – доказаны отдельные утверждения, помогающие в решении задачи, или в задаче «оценка + пример» верно построен пример;
1 балл – рассмотрены частные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении)
0 баллов – решение неверное или отсутствует.
Решение задач
Задача № 1
Длина ребра куба -0,5м. Этот куб разрезали на кубики, длина ребра каждого из которых равна 2мм. Затем кубики уложили в один сплошной ряд. Чему равна его длина?
Ответ: 31,25км
Решение: Так как 0,5м=50см=500мм. То грань можно разрезать на 250 частей. Таким образом можно получить 250∙250∙250=15 625 000 кубиков. Тогда длина ряда будет 15 625 000∙2 =31 250 000мм=31,25км.
Критерии оценивания
7 баллов – полное верное решение;
5 баллов – решение содержит одну вычислительную ошибку
0 баллов – решение неверное или отсутствует.
Задача № 2
Ровно в 7:00 из дворца выехала почтовая карета. Через 3 часа во дворце вспомнили, что забыли послать с каретой ценное письмо, и послали гонца догонять карету. Известно, что карета едет со скоростью 10 км/ч, а гонец скачет со скоростью 25 км/ч. Гонец догнал карету, отдал письмо и поскакал назад. Приехав, он узнал, что надо отправить еще одно письмо, и ему пришлось еще раз догонять карету. Сколько времени было, когда гонец вернулся во второй раз, если скорость гонца и кареты остается прежней?
Ответ: 23 часа 20 минут
Решение: К моменту выезда гонца карета находилась в пути уже три часа, а значит, отдалилась от дворца на расстояние 30 км. Гонец сможет догнать карету через 2 часа после своего выезда, т.е. в 12:00. Встреча произойдет на расстоянии 50 км от дворца.
Тогда обратная дорога во дворец займет тоже 2 часа. К этому времени (в 14:00) карета будет находиться на расстоянии 70 км от дворца. Во второй раз гонец сможет догнать карету в 18:40 (через 4 часа 40 минут после выезда гонца, 70+10t=25t). Обратная дорога займет у гонца еще 4 часа 40 минут. Таким образом, во второй раз он вернется во дворец в 23:20.
Критерии оценивания
7 баллов – полное верное решение;
6 баллов – верное решение, но имеются небольшие недочёты,
в целом не влияющие на решение;
0 баллов – решение неверное или отсутствует.
Задача №3
Наименьшее общее кратное двух чисел равно 240, а их наибольший общий делитель равен 8. Найдите эти числа, если известно, что меньшее из чисел содержит только один множитель 5, не входящий в большее число.
Ответ: 40 и 48
Решение: Меньшее число содержит все делители, из которых состоит НОД, и ещё множитель 5. Значит оно равно8∙5=40. В большем числе, кроме 8 и 5 . будет ещё 240/(8∙5)=6. Следовательно, оно равно 8∙6=48.
Критерии оценивания
7 баллов – полное верное решение;
6 баллов – верное решение, но имеются небольшие недочёты,
в целом не влияющие на решение;
1 балл – числа найдены подбором;
0 баллов – решение неверное или отсутствует.
Задача № 4
4. Имеется три листа бумаги. Некоторые из них разрывают на три части. Из полученных листов некоторые снова разрывают на три части и так далее. При подсчете оказалось 34 листка. Правильно ли был произведен подсчет?
Ответ: неверно.
Решение: Когда лист бумаги разрывают на 3 части, то общее число листов увеличивается на 2. Первоначально их было 3, значит, всегда будем иметь нечетное число листков, а 34- число четное.
Критерии оценивания
7 баллов – полное верное решение;
6 баллов – верное решение, но имеются небольшие недочёты,
в целом не влияющие на решение;
3 балла- рассмотрен частный случай( цепочка, дающая правильный ответ)
0 баллов – решение неверное или отсутствует.
Задача № 5
5. Есть две кучки по 2019 конфет. Таня и Ваня ходят по очереди. Начинает Таня. За один ход Таня может взять 4 или 5 конфет, но все из одной кучки, а Ваня – ровно 5 конфет, но они не обязаны быть из одной кучки. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кому из игроков соперник не может помешать выиграть и какова его стратегия?
Ответ: Тане.
Решение. Тане достаточно сделать так, чтобы после некоторого ее хода в кучах в общей сложности было 14 конфет. Тогда после хода Вани конфет в кучках будет в сумме 9. В этом случае в одной из кучек конфет будет не меньше 5, а в другой – меньше 5.
Теперь если Таня возьмет 5 конфет из большей кучки, и конфет останется всего 4, то есть Ваня не сможет сделать ход. Поскольку 2∙2019-14=4038-14=4024, Тане достаточно первым ходом взять 4 конфеты, а затем брать всегда по 5 из большей кучки. Тогда в результате дальнейших 402пар ходов, конфет как раз останется 14, после хода Тани.
Критерии оценивания
7 баллов – полное верное решение;
6 баллов – верное решение, но имеются небольшие недочёты, в целом не влияющие на решение;
5 баллов – решение в целом верное, однако содержит ряд ошибок, но может стать правильным после небольших исправлений и дополнений;
4 балла – верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев, или в задаче типа «оценка + пример» верно получена оценка;
2-3 балла – доказаны отдельные утверждения, помогающие в решении задачи, или в задаче «оценка + пример» верно построен пример;
1 балл – рассмотрены частные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении)
0 баллов – решение неверное или отсутствует.
1 285
48 083 
