Россия, Жуковка
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Был в сети 12.06.2019 14:06
Приходько Юрий Владимирович
учитель
50 лет
17 571
1 892 
Местоположение
Специализация
Презентация "10 способов решения квадратных уравнений"
Категория:
Математика
16.03.2018 15:23
Просмотр содержимого документа
«Презентация "10 способов решения квадратных уравнений"»
Исследовательская работа
- 10 СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
- Работу выполнили: учащиеся 9-Б класса Курсин Дмитрий и Павликов Дмитрий
- Научный руководитель: учитель математики первой квалификационной категории
Приходько Юрий Владимирович
История развития квадратных уравнений.
- Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне:
2 2
- Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения .
Отсюда уравнение:
(10+х)(10-х) =96
или же:
100 - х 2 =96
х 2 - 4=0 (1)
Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.
0. (1) " width="640"
- Квадратные уравнения в Индии.
ах 2 + b х = с, а0. (1)
- Квадратные уравнения у ал – Хорезми.
1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах2 + с = b х.
2) «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с.
3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.
4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = b х.
5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bx = с.
6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах2.
- Квадратные уравнения в Европе ХIII - Х V II вв.
х 2 + b х = с ,
при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.
- О теореме Виета.
«Если В + D , умноженное на А - А 2 , равно В D , то А равно В и равно D ».
На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место
(а + b )х - х2 = ab,
т.е.
х 2 - (а + b )х + а b = 0,
то
х 1 = а, х 2 = b.
Способы решения квадратных уравнений.
- 1. СПОСОБ : Разложение левой части уравнения на множители.
Решим уравнение х2 + 10х - 24 = 0 . Разложим левую часть на множители:
х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х - 2) = 0
Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2 , а также при х = - 12 . Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х - 24 = 0 .
- 2. СПОСОБ : Метод выделения полного квадрата.
Решим уравнение х 2 + 6х - 7 = 0 . Выделим в левой части полный квадрат.
Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде:
х 2 + 6х = х 2 + 2• х • 3.
полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как
х 2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3) 2 .
Преобразуем теперь левую часть уравнения
х 2 + 6х - 7 = 0 ,
прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:
х 2 + 6х - 7 = х 2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16 .
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(х + 3) 2 - 16 =0, (х + 3) 2 = 16.
Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х 1 = 1 , или х + 3 = -4, х 2 = -7.
- 3. СПОСОБ : Решение квадратных уравнений по формуле.
Умножим обе части уравнения
ах 2 + b х + с = 0, а ≠ 0
на 4а и последовательно имеем:
4а 2 х 2 + 4а b х + 4ас = 0,
((2ах) 2 + 2ах • b + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,
(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,
2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,
2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,
0 и p = - 3 ; x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 и x 2 = - 1 , так как q = 7 0 и p = 8 0 . б) x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 и x 2 = 1, так как q = - 5 p = 4 0; x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = - 1 , так как q = - 9 p = - 8 " width="640"
- 4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.
Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид
х 2 + px + c = 0. (1)
Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид
x 1 x 2 = q,
x 1 + x 2 = - p
а) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 и x 2 = 1, так как q = 2 0 и p = - 3 ;
x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 и x 2 = - 1 , так как q = 7 0 и p = 8 0 .
б) x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 и x 2 = 1, так как q = - 5 p = 4 0;
x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = - 1 , так как q = - 9 p = - 8
- 5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски».
Рассмотрим квадратное уравнение
ах 2 + b х + с = 0, где а ≠ 0.
Умножая обе его части на а, получаем уравнение
а 2 х 2 + а b х + ас = 0.
Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению
у 2 + by + ас = 0 ,
равносильно данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета.
Окончательно получаем х 1 = у 1 /а и х 1 = у 2 /а .
• Пример.
Решим уравнение 2х 2 – 11х + 15 = 0.
Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение
у 2 – 11у + 30 = 0 .
Согласно теореме Виета
у 1 = 5 х 1 = 5/2 x 1 = 2,5
у 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.
Ответ: 2,5 ; 3 .
- 6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
А. Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0, где а ≠ 0 .
1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х 1 = 1,
х 2 = с/а.
Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение
x 2 + b/a • x + c/a = 0.
Согласно теореме Виета
x 1 + x 2 = - b / a ,
x 1 x 2 = 1• c / a .
По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с . Таким образом,
x 1 + x 2 = - а + b/a= -1 – c/a,
x 1 x 2 = - 1• ( - c/a),
т.е. х 1 = -1 и х 2 = c / a , что и требовалось доказать.
- Б. Если второй коэффициент b = 2 k – четное число, то формулу корней
В. Приведенное уравнение
х 2 + рх + q = 0
совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1 , b = р и с = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней
- 7. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения.
Если в уравнении
х 2 + px + q = 0
перенести второй и третий члены в правую часть, то получим
х 2 = - px - q.
Построим графики зависимости у = х 2 и у = - px - q .
• Пример
- Решим графически уравнение
х 2 - 3х - 4 = 0 (рис. 2).
Решение. Запишем уравнение в виде
х 2 = 3х + 4 .
Построим параболу у = х 2 и прямую
у = 3х + 4 .
Прямую
у = 3х + 4 можно построить по двум точкам
М (0; 4) и N (3; 13) .
Ответ : х 1 = - 1; х 2 = 4
- 8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5 ).
Тогда по теореме о секущих имеем
OB • OD = OA • OC ,
откуда OC = OB • OD / OA = х 1 х 2 / 1 = c / a .
SK , или R a + c /2 a ) , окружность пересекает ось Ох в двух точках (6,а рис. ) В(х1; 0) и D (х2; 0) , где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах2 + b х + с = 0 . 2) Радиус окружности равен ординате центра ( AS = SB , или R = a + c /2 a ) , окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0) , где х 1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения. " width="640"
- 1) Радиус окружности больше ординаты центра
( AS SK , или R a + c /2 a ) , окружность пересекает ось Ох в двух точках (6,а рис. ) В(х1; 0) и D (х2; 0) , где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах2 + b х + с = 0 .
2) Радиус окружности равен ординате центра
( AS = SB , или R = a + c /2 a ) , окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0) , где х 1 - корень квадратного уравнения.
3) Радиус окружности меньше ординаты центра
окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.
- 9. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.
z 2 + pz + q = 0.
Криволинейная шкала номограммы построена
по формулам (рис.11):
Полагая ОС = р, ED = q , ОЕ = а (все в см.),
Из подобия треугольников САН и CDF
получим пропорцию
• Примеры.
1) Для уравнения z 2 - 9 z + 8 = 0 номограмма дает корни z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0 (рис.12).
2) Решим с помощью номограммы уравнение
2 z 2 - 9z + 2 = 0.
Разделим коэффициенты этого уравнения на 2 ,
получим уравнение
z 2 - 4,5z + 1 = 0 .
Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5 .
3) Для уравнения
z 2 - 25z + 66 = 0
коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5 t ,
получим уравнение
t 2 - 5t + 2,64 = 0,
которое решаем посредством номограммы и получим t 1 = 0,6 и
t 2 = 4,4, откуда
z 1 = 5 t 1 = 3,0 и z 2 = 5 t 2 = 22,0 .
- 10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений.
• Примеры .
1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.
В оригинале эта задача формулируется
следующим образом :
«Квадрат и десять корней равны 39»
(рис.15).
Для искомой стороны х первоначального
квадрата получим
у 2 + 6у - 16 = 0 .
Решение представлено на рис. 16,
где у 2 + 6у = 16 , или
у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.
Решение. Выражения у 2 + 6у + 9
и 16 + 9 геометрически представляют
собой один и тот же квадрат, а исходное
уравнение
у 2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение.
Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5 ,
или у 1 = 2, у 2 = - 8 (рис.16).
СПАСИБО ЗА
ВНИМАНИЕ !
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
