Презентация "Экстремумы"

Применение производной к исследованию функции

Экстремумы функции

Введение

• Рассмотрим график функции y=h(x).  Область определения функции h(x) - все действительные числа. Если двигаться вдоль графика функции h(x) слева направо, то до точки A (x= -1)

мы поднимаемся по кривой.

Перейдя через эту точку и

продолжая двигаться

в том же направлении,

мы будем уже спускаться.

Спуск по кривой будет

продолжаться, пока

не дойдём до точки B (x=2).

Перейдя через точку B, снова

будем подниматься, двигаясь

по кривой слева направо. В точке A функция меняет характер монотонности от возрастания к убыванию, а в точке B - от убывания к возрастанию. Точка x= -1 называется точкой максимума функции h(x), а точка x=2 - точкой минимума h(x).

Окрестность точки

• При исследовании поведения функции вблизи некоторой точки удобно пользоваться понятием окрестности.
• Определение Окрестностью точки а называется любой интервал, содержащий эту точку. Например, интервал ( 2; 6 ) - одна из окрестностей точки 3, интервал ( - 3,3; - 2, 7 ) - окрестность точки - 3.

Точка максимума

• Если взять точки из окрестности точки x= - 1, то значения функции в этих точках будут меньше, чем значение функции в точке x= -1.
• Определение Точка x0 называется точкой максимума функции f(x) , если для всех x из некоторой окрестности x0 выполнено неравенство

f ( x ) = f ( x0 ).

Точка минимума

• Рассмотрим точки из окрестности точки x= 2. Значения функции в этих точках будут больше, чем значение функции в точке x= 2.
• Точка x0 называется точкой минимума функции f(x) , если для всех x из некоторой окрестности x0 выполнено неравенство

f ( x ) = f ( x0 ).

Экстремумы функции

• Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции и обозначаются:

xmax,  xmin .

• Значения функции в этих точках называются экстремумами функции и обозначаются: ymax = f( xmax ),   ymin = f( xmin ).