Проект Производные

«Прогрессия в практических задачах»

www.themegallery.com

Характеристика проекта:

• Предмет : математика
• Класс : 9
• Тип проекта : практико-ориентированный,
• Комплектность : монопроект, реализуется в рамках одного учебного предмета
• Характер : внутришкольный
• Продолжительност ь: недельный

Цель:

Создание представления учащимися результатов своей деятельности с помощью презентации, альбома с задачами

Решение задач практического содержания

Развитие творческого мышления на занятиях по математике

Преодоление в сознании неизбежно возникшие преставление о «сухости» предмета, формальном характере оторванности от жизни и практики .

Задачи:

• Осознавать теоретический материал, его значение в жизни человека.
• Уметь применять теоретический материал при решении задач.
• Собрать задачи в альбом «Прогрессии в жизни»

Практическая ценность

• Создание своего альбома «Прогрессия в жизни» с практическими задачами.

Актуальность.

Задачи с практическим содержанием, вызовут у учащихся интерес, и процесс усвоения материала будет лучше. Умение решать задачи положительно повлияет на результаты итоговой аттестации, где с 2010 г включаются задачи с практическим содержанием.

Анкетирование

• Анкетирование было проведено в Большелугской школе. Были опрошены 60 человек, учащиеся 5, 6, 9-11 классов.

Вопросы:

1.Что такое «прогрессия»?

2 . Встречается ли в жизни прогрессия?

3. В какой области можно встретить прогрессию?

Что такое «прогрессия»?

Встречается ли в жизни прогрессия?

В какой области можно встретить прогрессию?

Размножение бактерий используют

в пищевой

промышленности

(для приготовления

напитков,

кисломолочных

продуктов,

при квашении, солении и др.)

в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин)

в коммунальном

в сельском

хозяйстве и

хозяйстве

природоохранных

(для приготовления

мероприятиях

силоса, корма

для животных и др.)

(для очистки сточных

водоликвидации

нефтяных пятен)

Задача о бактериях

• Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.

Решение:

• В сутках 1440 минут, каждые двадцать минут появляется новое поколение - за сутки 72 поколения. По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, у которой b 1 =1, q=2, n=72, находим, что S 72 =2 72 -1= 4 722 366 482 869 645 213 696 - 1=

4 септиллиона 722 секстиллиона 366 квинтиллионов 482 квадриллиона 869 триллионов 645 миллиардов 709 миллионов 213 тысяч 695

• Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов

Одуванчик

• Одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр и даёт в год около 100 летучих семян.
• а) Сколько кв. км площади покроет всё потомство одной особи одуванчика через 10 лет при условии, если он размножается беспрепятственно по геометрической прогрессии? [1012 км 2 ]
• б) Хватит ли этим растениям на 11-й год места на поверхности суши земного шара? [нет, Sсуши = 148 млн км 2 ]

Исследование

• Изучить наличие задач на прогрессии с практическим содержанием в различных учебных пособиях.
• Анализ школьных учебников математики

Учебник Макарычев Ю.Н.

• Алгебра. 9 класс, : Учебник для общеобразовательных учреждений / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Суворова С.Б. . -М.: Просвещение, 2008: №349-351,380,381, 401-403, 481, 482 +699, 725, 734, 788, 789
• (15 задач)

Задача № 380 .

• При свободном падении тело прошло в первую секунду 4,9м, а в каждую следующую на 9,8м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через 5 с. после начала падения.
• Решение. В первую секунду 4,9м,

во вторую секунду 14,7м,

в третью секунду 24,5м,

в четвертую секунду 34,3м,

в пятую секунду 44,1м.

Всего за пять секунд 4,9+14,7+24,5+34,3+44,1=122,5(м).

Ответ: глубина шахты 122,5м.

Учебник Мордкович А.Г.

• Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений / Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2010: № 16.63-16.66, 17.35, 17.46, 17.51. 17.58
• (8 задач).

0. S n = (2a 1 + d (n-1))n:2; 525= (2·30+ 5 (n-1))n:2; 1050= (60+ 5 (n-1))n; 1050= 55 n + 5n 2 ; n 2 +11 n -210=0, n 1 =-21, n 2 =10 (n0). Улика достигнет вершины за 10 дней. " width="640"

Задача №470

• Улитка ползет по дереву. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту — на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время достигнет улитка вершины дерева длиной 5,25 м, если считать, что движение начато от его основания?
• Решение. a 1 =30, d=5, S n = 525, n0.

S n = (2a 1 + d (n-1))n:2; 525= (2·30+ 5 (n-1))n:2; 1050= (60+ 5 (n-1))n;

1050= 55 n + 5n 2 ;

n 2 +11 n -210=0, n 1 =-21, n 2 =10 (n0).

Улика достигнет вершины за 10 дней.

Учебник Никольский С. М.

• Алгебра. 9 класс,С. М. Никольский, М. К. Потапов,Н. н. Решетников, А. В. Шевкин, М. Просвещение, 2006:

№ 648, 649,663,676, 697-699, 749-760

• (19 задач)

Учебник Дорофеев Г. В.

• Математика. Алгбра.Функции. Анализ данных.9 кл.: Учебник для общеобразовательных учебных заведений/ Г.В. Дорофеев , С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; -М.:Просвещение, 2010: №571, 574, 586, 599, 600, 611, 614, 618-620, 627-631, 642, 646-651, 654-656, 663, 667-672, 674-676
• (35 задач)

Задача Фибоначчи

Наиболее известной из сформулированных Фибоначчи задач является "задача о размножении кроликов", которая привела к открытию числовой последовательности 0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., именуемой впоследствии "рядом Фибоначчи".

Задача о размножении кроликов

Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения

Задача о семи старухах

• Старухи направляются в Рим, каждая имеет 7 мулов, каждый мул тащит 7 мешков, в каждом мешке находится 7 хлебов, у каждого хлеба лежит 7 ножей, каждый нож нарежет 7 кусков хлеба. Чему равно общее число всего перечисленного?

Задачи из «Арифметики» Магницкого

• Садовник продал первому покупателю половину всех яблок и ещё пол-яблока, второму покупателю – половину оставшихся и ещё пол-яблока; третьему – половину оставшихся и ещё пол-яблока и так далее. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблоки ещё пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

Задачи из «Сборника алгебраических задач» Шапошникова Н. А.

Работники нанялись вырыть колодезь с таким условием, чтобы за первый аршин глубины им заплатили 40 копеек, а за каждый следующий 15-копейками больше, чем за предыдущий. Сколько аршин вырыли они, если за всю работу получили 16 р. 90 к.?

Задачи из ГИА

• Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии, если .
• Ответ:_________________
• Найдите разность арифметической прогрессии, заданной формулой а n = 3n – 4.
• А. -4 Б. -1
• В. 3 Г. 4

Вывод исследования:

• Много практических задач на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых и в современных учебниках по математике.
• Арифметическая прогрессия в практических задачах встречается чаще геометрической.
• Много задач с практическим содержанием в учебнике для 9 класса под редакцией Г.В. Дорофеева

В финансах

В банковских расчетах

• Вкладчик решил положить в банк на год 50 тыс. рублей. Известно, что в одном банке вклад возрастает за год на 25%, а в другом он возрастает ежемесячно на 2% от накопленной суммы. В каком из банков доход будет больше и на сколько?

В медицине

• Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель.

В технике

• После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нём воздуха. Определите давление воздуха внутри сосуда, после 6 движений поршня, если первоначально давление было 760 мм.рт.ст.
•  

В спорте

• В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

В торговле

• Считая, что костюмы ежегодно дорожают на 50%, определите:
• а) Сколько будет стоить через два года костюм, стоивший изначально 500 р.?
• б) Известно, что костюм стоит 3375 р. Сколько он стоил три года назад?

Применение прогрессии

• Деление ядер урана происходит с помощью нейтронов. Нейтрон, ударяя по ядру урана раскалывает его на две части. Получается два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывают их еще на 4 части и т.д. — это геометрическая прогрессия.

• При повышении температуры в арифметической прогрессии скорость химической реакции вырастает в геометрической прогрессии.

• Возведение многоэтажного здания — пример арифметической прогрессии. Каждый раз высота здания увеличивается на высоту этажа.

Применение прогрессии

• Вписанные друг в друга правильные треугольники — это геометрическая прогрессия.
• Денежные вклады под проценты — это пример геометрической последовательности. Зная формулы суммы членов геометрической последовательности, можно подсчитывать сумму на вкладе.
• Равноускоренное движение — арифметическая прогрессия, т.к. за каждые промежутки времени тело увеличивает скорость в одинаковое число раз.

Оценка и подведение итогов

• Обобщили и закрепили знания по данной теме.
• Рассмотрели использование математических методов в решении задач с практическим содержанием.
• Увидели, что прогрессии играют большую роль в нашей жизни.
• Выполнили проектный продукт.

Получила дополнительные сведения

о фактах применения интенсивного размножения бактерий в геометрической прогрессии в пищевой промышленности, в медицине, в фармакологии, в сельском и коммунальном хозяйствах.

о том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства

Опрос

• «Узнали много нового, чего нет в учебнике по алгебре»
• «Понравилось то, что собраны задачи по данной теме в альбом и не надо искать учебники разных авторов»
• «Прогрессия встречается в нашей жизни и надо быть осторожными с растущими прогрессиями»

Использовали разработки

• Дневник рефлексии
• Памятка по решению задач
• Критерии оценивания проекта

Перспективы развития проекта

• Можно выбрать другие темы по прогрессии;
• Создать в электронном виде книгу;

Важно

• Очень важно быть не только в роли ученика, но и в роли автора проекта, интересного, прежде всего не только нам самим.
• Важно глубже вникать в математическую суть, анализировать и сравнивать известные задачи и пополнять математический опыт.

Литература

Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович.

Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев и др. под ред. С.А. Теляковского –М.: Просвещение

Алгебра. 9 класс, : Учебник для общеобразовательных учреждений / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феактистов И.Е. . -М.: Мнеозина

Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных.9 кл.: Учебник для общеобразовательных учебных заведений/ Г.В. Дорофеев , С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; под ред. Г.В. Дорофеева. -М. :Дрофа,

Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение

Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика

• http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm
• http://students.tspu.ru/students/legostaeva/index.php?page=op
• http://festival.1september.ru/articles/568100

Литература

• http://uchilegko.info/images/downloaded/1521219742_4-zhiznedeyatelnost-bakteriy.jpg
• http://pro.radiomayak.ru/wp-content/uploads/2016/10/image.jpg
• http://testanaliz.ru/wp-content/uploads/2017/03/analiz-na-disbakterioz-1.jpg
• https://png.pngtree.com/back_origin_pic/00/10/13/03252a622ea08e8c948fcb77ede114c3.jpg
• http://itd0.mycdn.me/image?id=869941822512&t=20&plc=WEB&tkn=*s7fm4EiTMGRznxScFoQ8kw3lsKU
• https://static4.depositphotos.com/1000865/427/i/450/depositphotos_4275700-stock-photo-house-made-of-books.jpg
• https://sitimedia-edu.ru/files/catalog/product/5b845e7a-a06f-11e4-9345-0050569c7d18.jpg
• https://media2.24aul.ru/imgs/57fc62d223bbeb3a8c5bc36b/algebra-9-klass-mordkovich-uchebnik-+-zadachnik-1-8319611.jpg
• https://cache3.youla.io/files/images/780_780/5a/84/5a847e261bee2b22107f62f2.jpg
• https://cache3.youla.io/files/images/780_780/5b/42/5b4226512c593e50e548be13.jpg
• http://www.char.ru/books/1826590_GIA_2011_Tematicheskie_testovye_zadaniya_Matematika_9_klass.jpg
• https://avatars.mds.yandex.net/get-pdb/963318/c4c15b30-8006-43e0-b62b-ace16a074518/s1200?webp=false
• https://static.ngs.ru/news/52/preview/15edee53b1aec6e6e67b906bd11836ce02c878cc_1024.jpg
• https://betrating.ru/wp-content/uploads/2018/06/Bez-imeni-2.jpg
• http://900igr.net/up/datas/251492/007.jpg
• http://static.ozone.ru/multimedia/books_covers/1003885308.jpg
• http://900igr.net/up/datas/177227/008.jpg
• https://sheba.spb.ru/shkola/img/algebra-zadachi1-1933.jpg
• https://politeka.net/wp-content/uploads/2018/10/1524829865_tab_1.jpg
• https://u-podarki.ru/upload/iblock/f7b/4520195.jpg

Спасибо за внимание!