Разработка урока по теме " Мир тригонометрии"

«Мир тригонометрии: основные тригонометрические тождества»

Эпиграф урока: (Слайд 1)

«Великая книга природы может быть прочтена только теми, кто знает язык, на котором она написана, и этот язык – математика»

Галилео Галилей

Технологическая карта урока

Предмет: алгебра и начала анализа.

Тема: Мир тригонометрии: основные тригонометрические тождества.

Тип урока: повторительно-обобщающий.

Формы работы: фронтальная; индивидуальная; групповая.

Технологии: информационно-коммуникационные.

Методы деятельности: репродуктивный и частично- поисковый.

Средства обучения: презентация Power Point, компьютер, проектор, экран, тематическая наглядность (тригонометрический круг), раздаточный материал.

Цели урока:

образовательные - систематизация уже имеющихся знаний по тригонометрии, отработка навыков преобразования тригонометрических выражений;

воспитательные - воспитание самостоятельности, работоспособности, способности к сотрудничеству;

развивающие - развитие коммуникативных способностей, навыков сотрудничества, повышение интеллектуального уровня, кругозора, повышение мотивации к изучению математики.

Задачи урока:

-повторение ранее изученного материала по тригонометрии;

-повторение формул тригонометрии;

- отработка навыка преобразования тригонометрических выражений с помощью основных тригонометрических формул.

Планируемые результаты.

Предметные: сформировать умения и навыки использования формул для решения тригонометрических задач.

Личностные:

- развитие логического и критического мышления, культуры речи

- воспитание качеств личности, обеспечивающих социальную мобильность, способность принимать самостоятельные решение;

-креативность мышления, инициативность, находчивости, активности при решении математических задач.

Метапредметные: умения наблюдать, делать выводы и умозаключения, умения выдвигать и формулировать

Оборудование:

- мультимедиа проектор, экран, доска, презентация, карточки.

Ход урока:

1. Вступительное слово преподавателя:

«Дорогие друзья!

Беритесь за решение трудных математических задач! И тех, которые только что поставлены, и тех, которые уже многие десятилетия или столетия не поддаются решению.

Вас будут ожидать страдания, вы будете разочарованы, когда вам будет казаться, что вы напрасно потратили годы на поиски ускользающего призрака. Все может быть.

Но вы будете сторицей вознаграждены, когда в один прекрасный день окажетесь перед той заветной целью, к которой так долго и так трудно шли.

Не будьте безучастными и равнодушными, в противном случае это будет духовная смерть»

Я начала наш открытый урок словами Данте о беспредельной жажде познания, с которой должен жить человек.

Преподаватель:

Однажды великого греческого философа Сократа спросили о том, что, по его мнению, легче всего в жизни. Он ответил, что легче всего поучать других, а труднее – познать самого себя. Мы познаем окружающий нас мир. Но сегодня давайте заглянем в себя. Как мы воспринимаем окружающий мир? Как художники или как мыслители?

2. Психологический тест.

1) Переплетите пальцы рук. Большой палец правой или левой руки оказался у Вас сверху? Запишите результат буквами «Л» или «П».

2) Скрестите руки на груди (поза «Наполеона»). Кисть, какой руки оказалась сверху? Запишите результат.

3) Изобразите «бурные аплодисменты». Ладонь, какой руки у Вас сверху? Запишите результат.

Подведем итоги, учитывая, что результат «ЛЛЛ» соответствует художественному типу личности, а «ППП» - типу мыслителя.

(Эти различия связаны с функциональной асимметрией мозга человека: у «художников» более развитое правое полушарие и преобладает образное мышление, у «мыслителей» – соответственно – левое полушарие и логическое мышление).

Какой же тип мышления преобладает у Вас?

Несколько «мыслителей», несколько «художников», большинство – личности, которым свойственно и логическое и образное мышление.

Вот и познакомились ближе: вы – с собой, я – с вами. Можно переходить к познанию темы урока.

3. Сообщение темы и целей урока (Слайд 2)

«Мир тригонометрии- основные тригонометрические тождества»

Цель урока. Слайд(3)

Главной целью нашего урока является систематизация уже имеющихся знаний по тригонометрии, отработка навыков преобразования тригонометрических выражений.

4.Разминка

Преподаватель: в начале проведём разминку.

• Вытянуть правую руку перед собой, параллельно поверхности стола и выполнить круговой поворот на 720 градусов.

• Вытянуть левую руку перед собой, параллельно поверхности стола и выполнить круговой поворот на (-1080) градусов.

• Положите кисти рук на плечи и сделайте по 4 круговых движения вперед и назад. Какова сумма углов поворота?

5. Актуализация опорных знаний: (Слайд 4-11)

За каждый правильный ответ 1 балл. Результаты записываем в листы самооценки.

(Слайд 4-6)

1. Сформулируйте определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, косинуса и тангенса .

(Слайд 7)

1. Найдите синус, косинус и тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике, противолежащий катет которого равен 8, а гипотенуза равна 10.

(Слайд 8-9)

3) Назовите знаки тригонометрических функций по четвертям.

(Слайд 10)

4) Что такое 1 радиан?

(Слайд 11)

5)Перевести:

в радианы: а) 30°,45°,90,270°,-720°

в градусы: π, π/3, π/2, -3π, π/18

6. Самостоятельная работа.

Преподаватель:Я думаю мы достаточно подготовились к мини самостоятельной работе, которую проведём в 3-х уровнях. А определиться, кто какой уровень будет писать, могут нам итоги психологического теста.

1 вариант - пишут художники (ЛЛЛ),

2 вариант - пишут ребята со смешенным мышлением (ПЛП),

3 вариант - пишут мыслители (ППП).

(Слайд 12)

Тема: Переход от градусной меры углов к радианной

Переход от радианной меры углов к градусной

Приложение 1

Вариант №1 - ЛЛЛ

Переведите данные числа из градусной меры в радианную меру: - 450, 6000. Переведите данные числа из радианной меры в градусную: п/6.

Вариант №2

Переведите данные числа из градусной меры в радианную меру: -10800, 3900. 2. Переведите данные числа из радианной меры в градусную: п/10.

Вариант №3 - ППП

1. Переведите данные числа из градусной меры в радианную меру: 400, 12000 . 2. Переведите данные числа из радианной меры в градусную: 5.

Как вы думаете, зачем надо изучать тригонометрию, встречается ли она в жизни? На этот вопрос нам ответит Баранов Богдан, который подготовил небольшой проект по этой теме (Слайд 13)

7. Обучающийся с презентацией «Зачем нужна тригонометрия?»

Слайд 14

• Тригонометрия – слово греческое и в переводе означает «измерение треугольников». Это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Возникновение тригонометрии связано с измерениями на земле, строительным делом, астрономией. А первое знакомство с ней произошло тогда, когда вы взяли в руки транспортир. Тригонометрия возникла в древние времена из потребностей людей при ведении расчетов, связанных с земельными работами (определение расстояния до недоступных предметов, составление географических карт и пр.).

Слайд 15

Первые тригонометрические таблицы были, вероятно, составлены Гиппархом Никейским (180—125 лет до н. э.). Гиппарх был первым, кто свёл в таблицы соответствующие величины дуг и хорд для серии углов. Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд.

Слайд 16

Тригонометрическая символика с годами совершенствовалась. Лишь в трудах Л.Эйлера в XVIII в. она приобрела современный вид, удобный для решения вычислительных задач, а Бернулли (1642-1727) в своих работах начал применять символику тригонометрических функций.

Слайд 17

Тригонометрия делится на плоскую, или прямолинейную, и сферическую тригонометрию.

Теория тригонометрических функций (гониометрия) и её приложения к решению плоских прямоугольных и косоугольных треугольников мы с вами изучаем в средней школе .

Слайд 18

Вспомним Основные формулы плоской тригонометрии .

1. Теорема синусов.

2. Теорема косинусов.

Слайд 19 Сферическая тригонометрия рассматривает соотношения между сторонами и углами треугольников на сфере, образованных дугами больших кругов на сфере. Исторически сферическая тригонометрия и геометрия возникли из потребностей астрономии, геодезии, навигации, картографии.

Слайд 20 Давайте прислушаемся к биению своего сердца. Сердце – самостоятельный орган. Головной мозг управляет любой нашей мышцей, кроме сердечной. У нее есть собственный центр управления – синусный узел. При каждом сокращении сердца по всему организму – начиная от синусного узла (размером с просяное зерно)– распространяется электрический ток. Его можно зарегистрировать с помощью электрокардиографа. Он вычерчивает электрокардиограмму (синусоиду)

Слайд 21 А теперь поговорим о музыке. Математика – это музыка, это союз ума и красоты. 
Музыка – это математика по вычислениям, алгебра по абстрагированию, тригонометрия по красоте. Гармоническое колебание (гармоника) – это синусоидальное колебание.

Слайд 22

Почему летом теплее, чем зимой? Все дело в наклоне земной оси по отношению к плоскости земной орбиты.

ПОТОК ЭНЕРГИИ, ИДУЩЕЙ ОТ Солнца, одинаков во все времена года. Но в зависимости от наклона солнечных лучей она по-разному распределяется по земной поверхности.

Слайд 23

Итак восход и заход солнца, изменение фаз луны, чередование времен года, биение сердца, циклы в жизнедеятельности организма, вращение колеса, морские приливы и отливы – модели этих многообразных процессов описываются тригонометрическими функциями.

Звук, электрический ток, радио представляют собой колебания различной частоты и амплитуды.

Если бы зрение людей обладало способностью видеть звуковые, электромагнитные и радиоволны, то мы видели бы вокруг многочисленные синусоиды всевозможных видов.

8. Повторение формул приведения

Преподаватель: Поблагодарим Богдана за столь интересное выступление.

А теперь настало время повторить формулы приведения. Слайд 24

Но сначала послушайте такую историю:

История: (Лошадиное правило).

В старые добрые времена жил рассеянный математик, который при поиске ответа менять или не менять название функции (синус на косинус), смотрел на свою умную лошадь, а она кивала головой вдоль той оси координат, которой принадлежала точка, соответствующая первому слагаемому аргумента ( п/2+ а ) или (п + а).

Если лошадь кивала головой вдоль оси ОУ, то математик считал, что получен ответ «да, менять», если вдоль оси ОХ, то «нет, не менять».

Предлагаю вжиться в образы и решить примеры, применяя «Лошадиное правило». На слайде, есть подсказки, для определения знаков функции.

(Слайд 25)

1) sin ( +х) = cos x

2) cos (π -х) = -cos x

3) tg (π +х) = tg x

4) sin (2π +х) = sin x

5) sin ( - х) = - cos x

6) cos (7 п + х) = - cos x

Преподаватель: Ещё раз проверим себя на применение формул приведения. Практическая работа с самопроверкой.

X	+α	-α
sinx
cosx
tgx
ctgx

x	+α	-α
sinx
cosx
tgx
ctgx

x	π +α	π-α
sinx
cosx
tgx
ctgx

x	2π+α	2π-α
sinx
cosx
tgx
ctgx

Слайд 26.

9. Основные тригонометрические формулы.

Преподаватель:- Следующий этап нашего урока - это повторение основных формул тригонометрии.

Слайд 27. Ваша задача восстановить соответствие, чтобы получилось верное тождество.

Слайд 28-29. Самопроверка

10. Тест.

Далее вас ждёт проверка усвоенного материала с помощью теста на упрощение тригонометрических выражений с использованием основных тригонометрических формул.

А в это время два человека пойдут работать к доске, выполнять индивидуальную работу по карточкам.

Остальные выполняют тест на упрощение тригонометрических выражений с использованием основных тригонометрических формул.

У вас на столах лежат цветные квадратики. Разберите их по цвету. Какой вам больше нравится. Соответственно вы сейчас определились с выполнением варианта теста. Интересный факт, ребята, выбравшие красный квадратик, по психологии цвета считаются активными, волевыми, они будут писать 1 вариант.

А ребята выбравшие синий квадратик, считается нуждаются в поддержке окружающих. Они будут писать второй вариант, но им разрешается обратиться за помощью к товарищам, если им таковая понадобится.

На выполнение работы даётся 3 минуты.

(Слайд 30)

Тест в двух вариантах .

Вариант 1

1. Упростить выражение:

9 cos²а +9sin²а - 10

а) -1; б) 0; в) sin²а; г) 10.

 

2) Упростить выражение:

8 – 3 sin²а - 3cos²а

а)1+ sin²а; б) cos²а-1; в) 1; г) 5.

 

3) Упростить выражение:

  (1 –sin²а): sin²а– сtg²а

а) sin²а ; б) 0; в) 2сtg²а г) sin²а

 

4) Упростить выражение

  sin⁴х + sin²х·cos²х

а) sin⁴х; б) 2sin²х; в) sin ²x г) cos²x

Вариант 2

1. Упростить выражение:

7 cos²а +7sin²а - 5

а) 1+cos²а; б) 2; в) –12; г) 12

1. Упростить выражение:

5 – 4 sin²а - 4cos²а

а) 1; б) 9; в) 1+8sin²а; г) 1+cos²а.

1. Упростить выражение:

(1 – cos²а): cos²а – tg²а

а) ctg²а; б) 0; в) ctg²а - tg²а; г) 2tg²а

1. Упростить выражение:

cos⁴х + sin²х·cos²х

а) cos²x; б) 2sin²х; в)- cos²х; г) cos⁴х

Ответы теста на экране через 3 минуты

Слайд 31 Ответы:

Вариант 1: 1а, 2г, 3б, 4в

Вариант 2: 1б, 2а, 3б, 4а

Преподаватель:- Проверим ребят, которые работали у доски. Им было предложено задание из ЕГЭ, которое они должны были решить каждый своим способом.

1. Решить с помощью тригонометрических формул

2. Решить с помощью определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике.

- Как вы думаете, какой способ для вас предпочтительнее?

11. Групповая работа

Тогда давайте это проверим. Выполним практическую работу, в которой присутствуют типичные задания по нашей теме из Единого Государственного экзамена.

Работать вы будите в группах, на которые разбились изначально. Также у вас есть оценочный лист группы. Его будет заполнять старший группы.

Ведушие специалисты в группах:

1 группа –

2 группа –

3 группа –

Класс разбивается на 3 группы и решают задания из сборников по подготовке к ЕГЭ ( Приложение2) Слайде 32

12. Это интересно! Слайд 33 - 34

Оказывается, значения синусов и косинусов углов «находятся» на вашей ладони. Протяните руку (любую) и разведите как можно сильнее пальцы (как на слайде). Оказывается между мизинцем и большим пальцем угол 90, между мизинцем и безымянным – 30, между мизинцем и средним – 45, между мизинцем и указательным – 60. И это у всех людей без исключения.

Если пальцы считать лучами, исходящими из бугра Луны на ладони, то можно считать, что направление мизинца соответствует началу отсчета углов, т.е. 0.

Введем нумерацию пальцев:

мизинец № 0 – соответствует 0,

безымянный № 1 – соответствует 30,

средний № 2 – соответствует 45,

указательный № 3 – соответствует 60,

большой № 4 – соответствует 90.

13. Подведение итогов урока: преподаватель с заключительным словом.

Математика - это орудие, с помощью которого человек познает и покоряет окружающий мир. Но это - особое орудие. Оно покоряет не только внешний мир, оно властно подчиняет себе и того, кто за него берется. А, подчинив, оно не остановит его перед тем, чтобы принести во имя науки любые жертвы, которые она от него потребует.

Наш урок подходит к концу. Надеюсь, что этот удивительный язык – язык формул, стал вам понятнее. В начале урока я пожелала вам отличного настроения, и сейчас, в конце урока, я хочу узнать о вашем настроении. А узнать мы его сможем, если продолжим несколько фраз.

14. Рефлексия урока Слайд 35

Продолжите фразы:

- сегодня на уроке я повторил…

- сегодня на уроке я научился…

- мне необходимо еще поработать над …

- сегодня на уроке мне понравилось…

Преподаватель: Домашнее задание я вам приготовила в виде интересных старинных и современных задач. Прошу вас после урока перекинуть его к себе в группу. Слайд 36-37

А еще нам необходимо подвести итоги и поставить те оценки, которые вы заработали.

Если останется время на уроке, то ученикам предлагается решить кроссворд.

15. Проверь себя. Слайд 38-39

16. Кроссворд. Слайд 40

Приложение №1

Самостоятельная работа

Вариант №1

1. Переведите данные числа из градусной меры в радианную меру: 450, 600.

2. Переведите данные числа из радианной меры в градусную: п/6

Вариант №2

Переведите данные числа из градусной меры в радианную меру: 300, 3900.

Переведите данные числа из радианной меры в градусную: п/10

Вариант №3

1. Переведите данные числа из градусной меры в радианную меру: 400, 12000.

2. Переведите данные числа из радианной меры в градусную: 5.

Приложение №2

Тест

1 вариант

1. Упростить выражение: 9 cos²а+ 9sin²а - 10

а) -1; б) 0; в) sin²а; г) 10.

 

2) Упростить выражение: 8 – 3 sin²а - 3cos²а

а)1+ sin²а; б) cos²а-1; в) 1; г) 5.

3) (1 –sin²а): sin²а– сtg²а

а) sin²а; б) 0; в) 2сtg²а; г) sin²а.

 

4) Упростить выражение: sin⁴х + sin²х·cos²х

а) sin⁴х; б) 2sin²х; в) sin ²x; г) cos²x.

 

2 вариант

Упростить выражение: 7 cos²а +7sin²а - 5

а) 1+cos²а; б) 2; в) –12; г) 12

 

2) Упростить выражение: 5 – 4 sin²а - 4cos²а

а) 1; б) 9; в) 1+8sin²а; г) 1+cos²а.

 

3) Упростить выражение: (1 – cos²а): cos²а – tg²а

а) ctg²а; б) 0; в) ctg²а - tg²а; г) 2tg²а

 

4) Упростить выражение: cos⁴х + sin²х·cos²х

а) cos²x; б) 2sin²х; в) - cos²х; г) cos⁴х

Приложение №3

ЗАДАНИЯ ДЛЯ РАБОТЫ В ГРУППАХ

1 ГРУППА.

Решить задачи:

1. В треугольнике АВС АС = ВС = 5, _{ }. Найдите АВ.

2. Найти площадь фигуры, изображенной на рисунке

2 ГРУППА.

Решить задачи:

1)В треугольнике АВС угол С равен 90, угол А равен 60, АВ = 8. Найдите АС.

2)Найти площадь фигуры , изображенной на рисунке

3 ГРУППА.

Решить задачи:

1. В треугольнике АВС угол С равен 90, _{ }. Найдите _{ }

2. Найти площадь фигуры, изображенной на рисунке

Индивидуальные задания для работы у доски.

1.Решить с помощью тригонометрических формул

Дано cost=0,4; 90°t

Найти: sint

2.Решить с помощью определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике.

Дано cost=0,4; 90°t

Найти: sint

17