Функции в окружающем мире

Функции

в окружающем мире

Руководитель:

Тонкова Надежда Михайловна

учитель математики

Цель: выявить принципы применения функций в различных областях знаний.

Задачи исследования:

• - проследить этапы исторического возникновения понятия «функция»;
• - исследовать принципы и возможности теоретического и практического применения функций в различных областях наук.

Л

Д

е

й

Б

к

б

е

а

н

р

и

р

и

н

т

ц

у

л

н

и

л

и

Функция – основное понятие математического анализа

Ученый

Год

Древние люди

Трактовка понятия «функция»

Древний Вавилон

Египет

Окружающие явления взаимосвязаны

Составление таблиц

П.Ферма

1636

Зависимость между отрезками в круге

Р. Декарт

1637

Г. Лейбниц

Соответствие между линиями и уравнениями

1692

И. Бернулли

Взаимная зависимость двух переменных величин

Ввел понятие «функция»

1718

Определение функции, свободное от геометрического языка

Установить соответствие и задать функцию означает одно и то же. Маркушевич А.И

f

c

«Весь анализ бесконечных вращается вокруг переменных величин и их функций».

Л.Эйлер

у

х

y 1

• Правило, устанавливающее подобное соответствие, называется функцией , или функциональной зависимостью.
• Знание функциональных зависимостей позволяет давать ответы на весьма разнообразные вопросы – от датировки древних документов до управления сложнейшими производственными процессами.

x 1

y 2

x 2

x 3

f(x 1 ) = y 1

f(x 2 ) = y 2

f(x 3 ) = y 2

Все явления живой и неживой природы протекают во времени

у

А

→

r

0 х

• Для описания движения тела, необходимо определить его положение в пространстве в любой момент времени.
• Найти математическое описание движения: установить связь между величинами, характеризующими движение.

0, а ≠ 1 Показательная - y = a x , где a 0 Гиперболичекая – y = k / x и т.д. " width="640"

Функции

Линейная –

у = kx + b

Бесселя - y = Ј 0 (x)

Периодические – y = sinx , y = cosx

Квадратичная –

у = ax 2 + bx + c

Логарифмическая –

у = , где х 0, а ≠ 1

Показательная - y = a x , где a 0

Гиперболичекая –

y = k / x

и т.д.

«…Книга природы написана на языке математики…без нее – напрасное блуждание в темном лабиринте» Г. Галилей

Линейная зависимость

у

x

у = kx + b

х = х 0 + vt

t

0

х

Линейная функция описывает многие физические процессы, которые в свою очередь, описывают природные явления

• Движение тел в пространстве протекает во времени
• Зависимость скорости тела от времени при равноускоренном движении
• Зависимость силы тока в проводнике от приложенного к нему напряжения
• Явление расширения веществ при увеличении температуры

• Увеличение давления газа в любой емкости при нагревании
• Стоимость товара по весу
• Соответствия между количеством света , упавшего на пленку, и степенью ее почернения
• Возникновение сил

Математика – язык физики

.

Квадратичная функция

у

х

у = ax 2 + bx + c

80 °

х = х 0 + v 0 t +

65 °

t

30°

х

0

11

Функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе.

• Свободное падение тел в поле тяготения Земли.
• Пули, снаряды и бомбы, теннисный и футбольный мячи, ядро легкоатлета при полете движутся по баллистической траектории.
• При пересечении поверхности конуса плоскостью, параллельной какой-либо одной его образующей, получается парабола.
• Поверхности жидкости во вращающемся сосуде имеет форму параболоида вращения.
• При изготовлении прожекторов, источник света помещают в фокусе параболоида, отраженные лучи от параболического зеркала идут параллельно.

Функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе

Гипербола – график обратной пропорциональности

H F = р F= ⅓р

k

h = H

h = 3H

0 F

h= k / F

Золотое правило механики:

во сколько раз выиграешь в силе – во столько же раз проиграешь в расстоянии

• Во сколько раз увеличивается длина волны, во столько же раз уменьшается частота.
• Пузырьки воздуха, поднимаясь вверх, увеличиваются в объеме.
• Процесс медленного сжатия воздуха или расширение газа под поршнем насоса при откачке его из сосуда.
• Лампа с круглым абажуром освещает часть стены, ограниченную куском гиперболы.

• Лампа с круглым абажуром освещает часть стены, ограниченную куском гиперболы.
• Комета или метеорит, залетевшие издалека в солнечную систему, движутся по ветви гиперболы.
• При бомбардировке атомного ядра - частица, пролетающая мимо ядра, движется по гиперболе.

Периодические функции

• Периодически движутся: участки сердца и легких,

иглы швейных машин.

• Колеблются: ветви деревьев при порыве ветра,

ноги и руки при ходьбе,

струны гитар.

• Колеблется спортсмен на батуте.
• Периодически пульсируют звезды (будто дышат), а возможно и вся Вселенная.

y = sinx

у

х

0

Синусоида – график физических колебательных процессов.

T

Все дело в наклоне земной оси по отношению к плоскости земной орбиты

• Смена времен года.
• Смена дня и ночи.
• Солнечные и лунные затмения.
• Перемещение звезд и планет по звездному куполу.

Только гравитационное притяжение определяет характер движения тел вблизи Земли.

• Вращательное периодическое движение, такое как вращение Земли вокруг Солнца, движение спутников планет, происходит за счет единственной силы, которая и удерживает планеты вблизи Солнца, Солнце в Галактике – силы гравитационного притяжения:

F =

Количество дров

Количество каши

Мера греха

Свойства функций

Монотонность (возрастание, убывание)

«Кашу маслом

не испортишь»

« Дальше кумы – меньше греха»

«Чем дальше в лес,

тем больше дров»

Расстояние до кумы

Количество масла

Продвижение в лес

Монотонно

убывающие

Монотонно возрастающие

Монотонно неубывающие

Суперпозиция функций

Сложная функция f 1 (f 2 (f 3 (…f n (x)))) ассоциируется с «цепной реакцией».

lnsinx

cos √(kx + b)

Топливо

Заводы, фабрики

Пыль, копоть

Атмосфера

Солнечная энергия

Ледники

проблема

Заключение

Мы представили функции в прекрасном мире движений и зависимостей. Эта картина движений и зависимостей позволяет делать прогнозы с высокой точностью – в этом ее основное достоинство. Нельзя согласиться с теми, кто вовсе лишает эту картину мира эстетичности и красоты. Многое восхищает в сухих и безликих формулах и графиках, в замечательном языке математики и физики: предельная краткость и точность, изящная немногословность, способность обнаруживать и отражать какой-то порядок в разнообразии событий, наконец, сама возможность создания языка, на котором можно беседовать с природой. Работая над этой темой, все больше возникало приятное ощущение понимания, единения разума с природой, когда в самой обычной обстановке, в игре, в спорте, в быту, в технике мы подмечаем элементы идеальной картины окружающего нас мира, а сухие формулы и их графики видятся реальным миром. Только при этом условии математика будет доставлять нам интеллектуальное удовольствие, только тогда у нас будут возникать новые вопросы и стремление получить на них ответ.

Литература

• Алимов Ш.А. Алгебра: учебники для 7-9 классов общеобразоват. учрежд. – М.: Просвещение, 2000.
• Балашов М.М. Физика: учебник для 9-10 кл. общеобразоват. учреждений – М.: Просвещение, 1994.- 320с.
• Блудов М.И. Беседы по физике. – М.: Просвещение, 1983. – 167с.
• Гельфанд И.М. Функции и графики. Библиотека физ.-мат. Шк. – М.: « Наука » , 1971. -96с.
• Касьянов В.А. Физика: учебн. для 10, 11 кл. общеобразоват. учрежд. – М.: Дрофа, 2003.
• Колягин Ю.М. и др. Алгебра и начала анализа: учебн. для 10, 11 кл. общеобразоват. учрежд. – М.: Мнемозина, 2001.
• Майоров А.Н. Физика для любознательных. – Ярославль, 1999. – 176с.
• Математика в школе. Педагогика. №6, 1989.
• Пухначев Ю.М. Учись применять математику. – М.: « Знание » , 1989. – 144с.

Руководитель:

Тонкова Надежда Михайловна,

учитель математики

Арти