Геометрия 8 класс

Деятельность учителя

Деятельность ученика

длительность

Организационный момент

На экран1 слайд

Тема урока: «Решение задач на построение методом подобных треугольников»

1 мин.

I Актуализация знаний учащихся

Устный опрос

1)- Что называется отношением двух отрезков?

- В каком случае говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1?

- Дайте определение подобных треугольников.

- Сформулируйте признаки подобия треугольников.

- Сформулируйте утверждение о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике

- Найти BD? (см. рис.1)

B

A C

D

Ответ: BD=

• Выразить из равенства DC

Ответ: BD²= AD DC

DC =

2) –Постройте угол равный данномууглу.

- Постройте медиану AM треугольника ABC

- Постройте прямую, параллельную стороне AB ΔABC и проходящую через точку C.

Ученики внимательно слушают вопросы и отвечают на них устно.

Слайд 2

Слайд 3

Практические задания на построения с помощью линейки и циркуля, ученики работают в тетрадях.

Слайд 4.

II Решение задач

- Сегодня на уроке мы будем решать задачи методом подобных треугольников.

- В чем заключается метод построения фигур методом подобия?

- Сколько и какие этапы включают в себя задачи на построения?

Слайд 5.

- Ребята, сейчас все вместе разберем следующую задачу на построение.

Задача 1.

Построить треугольник ABC по углу A ,отношению сторонAB:AC= 2 : 1 и расстоянию от точки пересечения медиан до вершины C.

Решение (рис. 2 а) и б)):

Дано: A= , O – точка пересечения медиан, ΔABC, OC = m, AB:AC = 2 : 1.

Построить: ΔABC.( Слайд 7)

Построение:(Слайд 8)

а) Построить угол A, равный .

б) На сторонах угла A отложить отрезки AC1 и AB1так, что AB1:AC1 = 2 : 1.

в) Построить точку пересечения медиан треугольник AB1C1 - точку O1.

г) На луче O1C1отложить отрезок O1E, равный m.

д) Построить прямуюEC, параллельную медиане AM1 треугольника AB1C1C= EC AC1.

е) Через точку C провести прямую CB,параллельную C1B1, CB AB1 = B.

Треугольник ABC – искомый.

Доказательство: (Слайд 9)

а) В треугольнике ABC∠A = .

б) AB:BC = 2 : 1, так как ΔABC ΔAB1C1по двум углам так как AB1:AC1 = 2: 1 по построению ,то AB: AC = 2 : 1.

в) О – точка пересечения медиан треугольника ABC, так как если B1M1= M1C1, то BM = MC (ΔAB1M1 ΔABM,ΔAM1C1 ).

г) OC = m, так как O1E = m, а O1OCEпараллелограмм по построению.

Треугольник ABCудовлетворяет всем условиям задачи, следовательно, треугольник ABC–искомый.

Задача 2.

№ 588 (из учебника)

Постройте треугольник ABC по углу A и медиане AM, если известно, чтоAB :AC = 2 : 3.(Слайд 10)

Решение (рис.3а) и б))

Дано: A= , AM = m, AB : AC = 2 : 3.

Построить:ΔABC (Слайд 11)

Построение:(Слайд 12)

а) Построить ∠A =

б) На одной из сторон угла A отложить 2 одинаковых отрезка, а на другой 3 таких же отрезка, соединить FN

в) Найти середину NF

г) На луче AO - отрезок AM = m

д) Через M строим прямую lпараллельную NF

е) l AF = C, l AN = B.

Треугольник ABC– искомый.

Доказательство: (Слайд 13)

а) ΔANF ΔABC, (∠A – общий ,∠ABC = ∠ANFпри NF BC и секущей AB)

б) NO = OF (по построению)

в) BM = MC, т.е. AM – медиана.

Если данный угол не является развернутым, то задача имеет единственное решение.

Задача 3.

№ 589 (из учебника)

Постройте треугольник ABC по углу A и стороне BC, если известно, что AB:AC = 2 : 1.(Слайд №14)

Решение (рис.4 а) и б)):

Дано:

∠A = , BC = m, AB:AC = 2 : 1

Построить: ΔABC(Слайд 15)

Построение:(Слайд 16)

а) ∠A =

б) AB1 = 2 PQ

в) AC1= PQ

г) C1B2 = m

д) Через точку B2 проведем прямую, параллельную AC1 ,BB2|| AC1

е) Через точку B проведем прямую, параллельную С1B1., BC ||B2C1

Треугольник ABC - искомый.

Доказательство:(Слайд 17)

Угол A равен данному углу по построению. Так как BC || B2C1 и B2B||C1C, то четырехугольник BCC1B2 – параллелограмм, и поэтому BC = C1B2, а значит, сторона BCтреугольника ABC равна данному отрезку. Наконец, так как BC || B1C1, ТО = = . Таким образом, треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи.

Если данный угол не является развернутым, то задача имеет единственное решение.

Задача 4.

Постройте отрезок a= , если отрезки m и nизвестны.

(Слайд 18)

Решение (рис. 5 а) и б)):

Дано:

См. рис. 5 (а)

Построить: отрезок a

= = – m

В прямоугольном треугольнике ABCBD- высота, проведенная из вершины прямого угла, поэтому BD= , следовательно,

Если CK= m, то DK = /n – m.(Слайд 19)

Построение:

а) Построить ΔABD, в котором ∠D = 90°, BD = m, AD = n.

б) Провести прямую BC так, что B

в) На луче CA отложить отрезок CK, равный m

г) DK – искомый отрезок.

Задача не имеет решения, если m (Слайд 20)

- Сначала строят фигуру, подобную искомой, потом строят по заданным размерам саму искомую фигуру.

- Анализ задачи, построение, доказательство, исследование.

Слайд 6.

Р ис.2

m

а)

B

B1 M

K M

K1 O

O1M1

A C1C

E

б)

Рис.3

m

a)

B

N M

O

A

F C

б)

Ученики решают самостоятельно. Кто решит первый, тот объясняет у доски.

Если ученик не решил № 588, то решают №589.

Если ученик справился с задачей №588, то решает задачу №4.

Рис. 4

m

а)

P Q

C

C1

B

A B1

B2

б)

Рис. 5.

n

m

а)

A

n

B D

m

K

C

б)

.

2мин.

1мин.

8мин.

Итог урока

VДомашнее задание по выбору

1. Начертите отрезок и с помощью циркуля и линейки разделите его в отношении 2 : 3.

2. Постройте треугольник по двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла.

3. Даны отрезки mи n. Постройте отрезок y=

Слайд 21.