Индивидуальный проект на тему: «Определение высоты предмета различными способами».

ГБПОУ «Починковский сельскохозяйственный техникум»

Индивидуальный проект по математике на тему:

«Определение высоты предмета различными способами».

Работу выполнил:

студент 1М группы

Бачурин Дмитрий

Проверил:

преподаватель

Абросимова Е.А.

Починки, 2020 г.

Оглавление:

1.Введение

2. Методы измерения в Древней Руси

3. Способы измерения на местности

3.1. Подобие треугольников.

3.2. С помощью вращающейся планки.

3.3. Измерение высоты предмета с помощью тени.

3.4. Измерение высоты предмета при отсутствии тени.

3.5. Измерение высоты предмета с помощью зеркала.

3.6. Измерение высоты предмета с помощью прямоугольного треугольника.

4.Практическая работа. Измерения высоты предметов различными способами

4.1. Измерение высоты предмета с помощью тени.

4.2. Измерение высоты предмета с помощью зеркала.

4.3. Измерение высоты предмета с помощью прямоугольного треугольника.

5.Заключение

1. Введение

«Наука начинается с тех пор, как начинают измерять,

точная наука немыслима без измерения»

Д.И. Менделеев.

Геометрия - одна из древнейших наук, возникших еще до нашей эры. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие». Это название объясняется тем, что его происхождение было связано с различными измерительными работами, которые приходилось выполнять при разметке земельных участков, строительстве зданий и различных сооружений. Другими словами, геометрия возникла из практической деятельности людей и в начале своего развития служила главным образом практическим целям.

Выбранная тема актуальна тем, что можно узнать, как определить высоту объекта без каких-либо специальных технических устройств. В частности, иногда туристам нужно оценить размер дерева, чтобы построить мост через быструю реку. У них нет под рукой высотомера. Чтобы определить, достаточно ли высоты дерева, чтобы упав, оно перекрыло реку, можно использовать предметы, которые всегда под рукой. Или, например, на садовом участке растет дерево, которое мешает по каким - то причинам. Прежде чем его спилить, нужно решить проблему - не достанет ли оно при падении до любого строения, находящегося рядом с ним. И тут снова на помощь приходят различные методы определения высоты дерева с помощью подручных средств.

Гипотеза: в настоящее время измерительные работы на местности играют важную роль.

Цель исследования: определение высоты предмета различными способами.

Объект исследования: измерения на местности.

Предмет исследования: способы измерений на местности.

Задачи:

- изучить какие способы измерения длины были в древности;

- рассмотреть различные способы измерения высоты предмета;

- экспериментально проверить использование различных способов определения высоты предмета;

- проанализировать полученные данные и определить наиболее точный способ измерения высоты предмета.

Методы исследования:

- сбор информации из энциклопедий, книг, системы Интернет;

- эксперимент;

- сравнение;

- анализ.

1. Методы измерений Древней Руси.

В древности человеку приходилось постепенно постигать не только искусство счета, но и измерений. Когда древний человек, уже мыслящий, попытался найти для себя пещеру, он вынужден был соразмерить длину, ширину и высоту своего будущего жилища с собственным ростом. А ведь это и есть измерение. Изготовляя простейшие орудия труда, строя дома, добывая пищу, возникает необходимость измерять расстояния, а затем площади, емкости, массу, время. Наш предок располагал только собственным ростом, длиной рук и ног. Если при счете человек пользовался пальцами рук и ног, то при измерении расстояний использовались руки и ноги. Не было народа, который не изобрел бы своих единиц измерения.

В Древней Руси существовали свои измерения. Древнейшими мерами длины являются локоть и сажень. Локтем являлась длина от локтя до переднего сустава среднего пальца, которая равнялась половине английского ярда. Название сажень происходит от славянского слова «сяг» — «шаг». Сначала оно означало расстояние, на которое можно шагнуть. Затем стали различать сажени маховую, косую, казенную, мерную, большую, греческую, церковную, царскую, морскую. Маховая или мерная сажень — расстояние между вытянутыми пальцами раскинутых рук (176 см). Сажень простая (152 см) — расстояние между размахом вытянутых рук человека от большого пальца одной руки до большого пальца другой. Сажень косая (248 см) — расстояние между подошвой левой ноги и концом среднего пальца вытянутой вверх правой руки.

Небольшие расстояния на Руси измерялись четвертями, пядями и аршинами. Четверть — расстояние между раздвинутыми большим и указательным пальцами, пядь — расстояние от конца большого пальца до конца мизинца при наибольшем возможном их раздвижении. Четыре четверти составляли аршин, который, в свою очередь, трижды вмещался в косую сажень.

3. Способы определения высоты предмета

Существует множество различных способов производить определение высоты предмета при помощи весьма незамысловатых приборов и даже без всяких приспособлений.

Для своей работы я отобрал только те, которые просты в применении.

3.1. Подобие треугольников

Способы определения высоты предмета с помощью подручных средств основаны на применении такого важного понятия геометрии, как подобие треугольников.

Д ва треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника

Соответственные стороны – это стороны, лежащие напротив равных углов.

Коэффициент подобия – это число k, равное отношению соответственных сторон. При решении задач на местности чаще всего применяют первый признак подобия треугольников: если два угла одного треугольника равны соответственно двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

3.2. Измерение высоты предмета с помощью вращающейся планки.

Предположим, что нам нужно определить высоту какого – нибудь предмета, например высоту столба А 1 С 1. Для этого поставим на некотором расстоянии от столба шест АС с вращающейся планкой и направим планку на верхнюю точку С 1 столба. Отметим на поверхности земли точку В, в которой прямая А 1 А пересекается с поверхностью земли. Прямоугольные треугольники А 1 С 1 В и АСВ подобны по первому признаку подобия треугольников (угол А 1 = углу А = 90 о, угол В – общий). Из подобия треугольников следует;

Измерив расстояния ВА 1 и ВА (расстояние от точки В до основания столба и расстояние до шеста с вращающейся планкой), зная длину АС шеста, по полученной формуле определяем высоту А 1 С 1 столба.

3.3. Измерение высоты предмета с помощью тени.

Этот способ называется способом Фалеса. В честь греческого мудреца Фалеса Милетского, который еще за шесть веков до нашей эры научил египтян определять высоту пирамиды по длину ее тени.

Измерение следует проводить в солнечную погоду. Например, для измерения длины дерева. Для этого измерим длину тени дерева и длину тени человека. Построим два прямоугольных треугольника, они подобны. Используя подобие треугольников, составим пропорцию (отношение соответственных сторон), из которой и найдём высоту дерева.

3. 4. Измерение высоты предмета при отсутствии тени.

При отсутствии тени высота вертикальных предметов определяется следующим образом. Рядом с измеряемым предметом установить вертикально палку известной длины и отойти на 25 – 30 шагов. В вытянутой руке держать перед глазами вертикально карандаш или ровную палочку. Отметить на карандаше высоту вертикальной палки и измерить это расстояние. Мысленно умножить это расстояние на измеренный предмет. Умножив полученное количество раз на длину палки, можно получить искомую величину.

3.5. Измерение высоты предмета с помощью зеркала.

Д ля определения высоты предмета можно использовать зеркало, расположенное на земле горизонтально. Луч света, отражаясь от зеркала, попадает в глаз человека. Используя подобие треугольников можно найти высоту предмета, зная рост человека (до глаз), расстояние от глаз до макушки человека и измеряя расстояние от человека до зеркала, расстояние от зеркала до предмета (учитывая, что угол падения луча равен углу отражения).

3 .6. Измерение высоты предмета с помощью прямоугольного треугольника.

На уровне глаз расположим прямоугольный равнобедренный треугольник, направив один катет горизонтально поверхности земли, другой катет, направив на предмет, высоту которого измеряем. Отходим от предмета на такое расстояние, чтобы второй катет совпадал с верхней точкой предмета, которого измеряем, т.к. треугольник равнобедренный, то высота предмета равна расстоянию от человека до основания предмета (прибавив рост человека).

Если треугольник не равнобедренный, то используется снова подобие треугольников, измеряя катеты треугольника и расстояние от человека до предмета (используется и построение прямоугольных треугольников в выбранном масштабе). Если треугольник имеет угол в 30 0 , то используется свойство прямоугольного треугольника: против угла в 30 0 лежит катет вдвое меньше гипотенузы.

4. Практическая работа. Измерение высоты предметов различными способами.

4.1. Измерение высоты предмета с помощью тени

Помимо измерительной ленты нам нужен солнечный день, чтобы получить свою четкую тень, и тень предмета. Зная свой рост, измерив, тень предмета и свою тень и используя основное свойство пропорции можно вычислить высоту предмета.

1) Высота дерева:

Я встал рядом с деревом. Тень дерева и моя тень образовали параллельные прямые. Потом измерил тень дерева и мою тень.

Мой рост 177см

Моя тень 259см

Тень дерева 1100см

Высота дерева x

По свойствам пропорции:

177: 259 = x : 1100

x = (177*1100):259=752см=7,52м

Ответ: высота дерева 7,52м

2) Высота столба.

Мой рост 177см

Моя тень 215см

Тень столба 1000см

Высота столба x м

Составили пропорцию и вычислили искомую высоту.

177: 215= х: 1000

х = (177 *1000): 215 = 8,2м

Ответ: высота столба

8,2 м.

Таким образом, я измерил высоту дерева, и высоту столба.

4.2.Измерение высоты предмета с помощью зеркала

Я положил зеркало на землю, отошел в сторону до того момента, пока в зеркале не отразится верхушка дерева. Измерил расстояния от себя до зеркала, от зеркала до дерева и свой рост до глаз. 

Мой рост до уровня глаз 165см 
Расстояние от меня до зеркала 100см 
Расстояние от зеркала до дерева 900см 
Высота дерева x 
По свойствам пропорции: x=(165*900):100=1485 см=14.8 м

Ответ: высота дерева 14.8 м

4.3. Измерение высоты предмета с помощью прямоугольного треугольника.

Для реализации этого способа, я взял равнобедренный треугольник и приложил его к глазу так, чтобы одна его сторона была параллельна земле, а другая совпадала с верхней точкой здания (моего дома). Я измерил расстояние от дома до места где я стоял, плюс мой рост до уровня глаз 6400+165=6605 см, оно оказалось равным 6, 60м, значит и высота дома тоже равна 6,60метрам.

1.Держа равнобедренный прямоугольный треугольник на уровне глаз вертикально, отойдите от дома на такое расстояние, чтобы, глядя вдоль гипотенузы, видно было верх дома.

2.Измерить расстояние от места измерения до дома

3.Измерить катет треугольника.

4.Измерить рост до уровня глаз.

Геометрическая постановка задачи. Рассмотреть по двум углам треугольники АВС и А1В1С1 и составить отношение соответственных сторон , где АС – расстояние от точки измерения до основания дерева, А1С1 - длина катета равнобедренного прямоугольного треугольника, ВС – искомая величина, В1С1 - длина катета равнобедренного прямоугольного треугольника .

5. Заключение

В данной работе рассмотрены различные способы определения высоты предмета, некоторые из методов были реализованы на практике.

Выполняя практические задания на местности, я научился видеть подобные треугольники в разных ситуациях; правильно записывать соотношения соответственных сторон; используя свойство пропорции, вычислять неизвестные элементы.

Во время эксперимента самым простым для меня способом было измерить высоту дома с помощью равнобедренного прямоугольного треугольника, так как это занимает минимум времени и не требует большого количества приборов.

Относительная погрешность измерений, полученных в ходе эксперимента, различна. Наиболее точным оказался метод определения высоты с помощью треугольника, а наименее точным – по тени. Трудно сказать, каким способом лучше пользоваться для определения высоты объекта. Все зависит от имеющихся подручных средств, от места положения объекта, от точности, которая необходима. Таким образом, поставленные задачи были выполнены и цель работы достигнута.

Эта работа ясно показывает, что геометрия - это не просто школьный предмет, а наука, которая используется в жизни.

Список используемых источников:

1. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1982

2. Перельман Я.И. Занимательная геометрия. – М.: АСТ, 2005

3.Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1983

4. Большая Российская Энциклопедия.М, том 11,2008

5. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.Т. «За страницами учебника

математики» – М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996.

6. http:// festival.1september.ru

7. http://www.pandia.ru/