К семинару "Решение тригонометрических уравнений"

СЕМИНАР 10 – 11 классы.

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ЦЕЛЬ :

• Обобщение знаний по решению тригонометрических уравнений.
• Выделение основных проблем при решении этих уравнений:

• Потеря корней.
• Посторонние корни.
• Отбор корней.

ПЛАН УРОКА .

• Вводная часть, повторение теоретического материала. (Фронтальная работа)
• Решение тригонометрических уравнений. ( Групповая работа)
• Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений.

Основные методы решения

тригонометрических уравнений.

• Разложение на множители.
• Введение новой переменной.
• Функционально – графический метод.

Некоторые типы тригонометрических уравнений .

• Уравнения, сводящиеся к квадратным, относительно

cos х = t , sin х = t .

A sin 2 x + B cosx + C = 0

A cos 2 x + В sinx + C = 0

• A sin 2 x + B cosx + C = 0 A cos 2 x + В sinx + C = 0
• A sin 2 x + B cosx + C = 0 A cos 2 x + В sinx + C = 0

Решаются методом введения новой переменной.

2.Однородные уравнения первой и второй степени.

I ст . A sinx + B cosx = 0 : cosx

A tg x + B = 0

II ст . A sin 2 x + B sinx cosx + A cos 2 x = 0 : cos 2 x

A tg 2 x + B tgx + C = 0

Решаются методом разложения на множители и методом введения новой переменной .

3. Уравнение вида:

А sinx + B cosx = C . А, В, С  0

Применимы все методы.

4. Понижение степени.

А cos 2 x + В = C .

A cos2x + B = C.

Решаются методом разложения на множители.

A sin2x + B = C.

A sin2x + B = C.

Сводятся к однородным уравнениям С = С( ).

Сводятся к уравнению А sin 2 x + B cos 2 x = C .

5. Уравнение вида:

A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.

Сводятся к квадратным относительно t = sinx + cosx .

Формулы .

Универсальная подстановка.

х   + 2  n ; Проверка обязательна!

Понижение степени.

= (1 + cos2x ) : 2

= (1 – cos 2x) : 2

Метод вспомогательного аргумента.

a cosx + b sinx заменим на C sin ( x +  ), где

cos  =

sin  =

 - вспомогательный аргумент.

Правила .

• Увидел квадрат – понижай степень.

• Увидел произведение – делай сумму.

• Увидел сумму – делай произведение.

Потеря корней, лишние корни.

1.Потеря корней:

• делим на g (х).
• опасные формулы (универсальная подстановка).

Этими операциями мы сужаем область определения.

2. Лишние корни:

• возводим в четную степень.
• умножаем на g (х) (избавляемся от знаменателя).

Этими операциями мы расширяем область определения.

Примеры тригонометрических уравнений.

Уравнения вида Asinx + Bcosx = C

Пример 1. 3 sin 2 x + cos 2 x + 1 = 0.

Пример 2. sinx – cosx = 1

У

_

2

y = cos x + 1

_

1

|

|

|

|

|

|

|

|

0

-π

2π

π

-2π

Х

_

-1

y = sin x

Пример 3. 8 cosx + 15 sinx = 17.

Понижение степени.

Уравнения вида A cos 2 x + B = C . A cos2x + B = C.

Пример.

Сведение к однородному.

A sin2x + B sin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

Уравнения вида

Пример. 5 sin 2 x +

sinx cosx + 6 cos 2 x = 5.

Уравнение вида: А( sinx + cosx ) + В sin 2 x + С = 0.

Пример. 4 + 2 sin 2 x – 5( sinx + cosx ) = 0.

Разложение на множители.

Пример. - 2 cosx = 4 sinx - sin 2 x

Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений.

1.Потеря корней .

• Делим на g (х).
• Применяем опасные формулы.

• Найдите ошибку.

Пример. cos x = sin x * sin

2. Посторонние корни.

• Освобождаемся от знаменателя.
• Возводим в четную степень.

Пример 1 .

(sin 4x – sin 2x + cos 3x + 2sin x – 1) : (2sin 2x - ) = 0

У

/

/

\

π

2π

Х

\

Пример 2.

У

/

\

π

2π

t

Отбор корней.

Пример.

tg x + tg 2 x = tg 3 x

.

х

0

х

0