Семинар "Решение тригонометрических уравнений"

СЕМИНАР ДЛЯ 10 – 11 КЛАССОВ ПО ТЕМЕ РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ЦЕЛЬ: Обобщение знаний по решению тригонометрических уравнений всех типов.

Выделение основных проблем при решении этих уравнений:

• потеря корней.

• посторонние корни.

• отбор корней.

ПЛАН УРОКА.

1. Вводная часть, повторение теоретического материала. (Фронтальная работа)

2. Решение тригонометрических уравнений. (Групповая работа)

3. Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений.

I. Вводная часть.

1.Основные методы решения тригонометрических уравнений.

• Разложение на множители.

• Введение новой переменной.

• Функционально – графический метод.

2.Некоторые типы тригонометрических уравнений.

1.Уравнения, сводящиеся к квадратным, относительно cos х = t, sin х = t.

A sin² x + B cosx + C = 0 A cos² x + В sinx + C = 0

Решаются методом введения новой переменной.

2.Однородные уравнения первой и второй степени.

I ст. A sinx + B cosx = 0 : cosx A tg x + B = 0 II ст. A sin² x + B sinx cosx + A cos² x = 0 : cos²x A tg² x + B tgx + C = 0

Решаются методом разложения на множители и методом введения новой переменной.

3. Уравнение вида:

А sinx + B cosx = C. А, В, С  0

Применимы все методы.

4. Понижение степени.

А cos2x + В cos²x = C. A cos2x + B sin²x = C.

Решаются методом разложения на множители.

A sin2x + B sin²x = C. A sin2x + B cos²x = C.

• Сводятся к однородным уравнениям С = С(sin²х + cos²х).

• Сводятся к уравнению А sin2x + B cos2x = C.

5. Уравнение вида:

A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.

Сводятся к квадратным относительно t = sinx + cosx.

sin2x = t² – 1.

3. Формулы.

Универсальная подстановка.

; ; . х   + 2n; Проверка обязательна!

Понижение степени.

cos²x = (1 + cos2x ) : 2 sin²x = (1 – cos 2x) : 2

Метод вспомогательного аргумента.

a cosx +b sinx заменим на C sin(x+), где , sin = ; cos = ;  - вспомогательный аргумент.

4. Правила.

• Увидел квадрат – понижай степень.

• Увидел произведение – делай сумму.

• Увидел сумму – делай произведение.

5. Потеря корней, лишние корни.

1.Потеря корней:

• Делим на g(х).

• Опасные формулы (универсальная подстановка).

Этими операциями мы сужаем область определения.

2. Лишние корни:

• Возводим в четную степень.

• Умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя).

Этими операциями мы расширяем область определения.

II. Примеры тригонометрических уравнений.

1. Уравнения вида Asinx + Bcosx = C

• 3sin 2x + cos2x + 1 = 0.

Решение.

Воспользуемся универсальной подстановкой:

,

Положим tgx = u. где x  + n, тогда sin2x = , cos2x = .

Уравнение примет вид

Решив это уравнение, получим u =

Таким образом, tg x = , откуда x = arctg( ) + k, k  Z.

Проверим отброшенные корни x  + n.

Проверка:

3 sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1 = 3 sin  + cos  + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

Т.е. x = + n, n  Z, являются корнями уравнения.

Ответ: х = arctg( ) + k, k  Z, x = + n, n Z.

• sinx – cosx = 1

Решение.

В оспользуемся функционально-графическим методом.

Преобразуем уравнение к виду sinx = cosx + 1. Построим графики функций y= sinx, y=cosx+1

Ответ: х = + 2 n, n  ; x =  + 2 k, k Z.

• 8 cosx + 15 sinx = 17.

Решение.

Воспользуемся введением вспомогательного аргумента.

, cosx + sinx = 1, т.к. , то существует такое ,

что sinj = , cosj = , значит sinj cosx + sinx cosj = 1; j = arcsin .

sin(x + j) = 1, x + j = + 2n, x = + 2n - j.

Ответ: x = + 2n - j, x = + 2pn – arcsin , n Z.

2. Понижение порядка.

Уравнения вида A cos2x + B sin²x = C. A cos2x + B cos²x = C.

• sin² 3x + sin² 4x +sin² 6x + sin² 7x = 2.

Решение.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4

cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0, 2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0,

2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0, 2cos10x 2cos3x cosx = 0,

cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

Ответ: х = + , n  Z; x = + , k  Z; x = + pm, m Z.

при k = 1 и m = 0 серии совпадают.

k = 4 и m = 1.

3. Сведение к однордному.

Уравнения вида A sin2x + B sin² x = C, Asin2x + Bcos² x = C.

• 5 sin² x + sinx cosx + 6 cos² x = 5.

Решение.

5 sin² х + sinx cosx + 6cos² х – 5 sin² х – 5 cos² х = 0

sinx cosx + cos²х = 0 разложим на множители

cosx ( sinx + cosx ) = 0, откуда 1. cosx = 0, 2. sinx + cosx = 0.

х = + pk, k  Z. tgx = ,

x = + pn, n  Z.

Ответ: х = + pk, k  Z. x = + pn, n  Z

4. Уравнение вида: А(sinx + cosx) + В sin2x + С = 0.

• 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0.

Решение.

sinx + cosx = t, sin2x = t² – 1.

4 + 2t² – 2 – 5t = 0, t 

2 t² – 5t + 2 = 0. t₁ = 2, t₂ =

sinx + cosx = , заменим cosx = sin(x + ),

sinx + sin(x + ) = , 2sin(x + ) cos( ) = ,

sin(x + ) = ; x + = (-1)^karcsin( ) + pk, k  Z.

Ответ: х = (-1)^karcsin( ) - + pk, k  Z.

5. Разложение на множители.

• cos²х -2 cosx = 4 sinx - sin2x

Решение.

cosx(cosx –2) = 2 sinx (2 – cosx),

(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1). сosx = 2, 2). сosx +2 sinx = 0

корней нет. 2tgx + 1 = 0

x = arctg( ) + pn, n Z.

Ответ: x = arctg( ) + pn, n Z.

III. Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений.

1.Потеря корней.

• Делим на g(х).

• Применяем опасные формулы.

Найдите ошибку.

• 1 - сosx = sinx* sin ,

Решение.

Заменим левую часть уравнения по формуле 1 - сosx = 2sin² ,

а правую часть уравнения по формуле sinx = 2sin *cos , получим

2sin² = 2sin * сos *sin , разделим на 2 sin² обе части уравнения, получим 1 = сos , решая это уравнение, найдем корни = 2 pn, x = 4pn, n Z.

Потеряли корни sin = 0, х = 2pk, k Z.

Правильное решение: 2sin² (1 – сos ) = 0.

sin² = 0 или 1 – сos = 0

x = 2pk, k  Z. x = 4pn, n  Z.

Ответ: x = 2pk, k  Z, x = 4pn, n  Z.

2. Посторонние корни.

• Освобождаемся от знаменателя.

• Возводим в четную степень.

• (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx - 1):(2sin2x - ) = 0.

Решение.

О.Д.З.: sin 2x  .

2сos 3х sinx – сos3x + 2sinx - 1 = 0

(сos3x + 1)(2sinx - 1) = 0

1. сos3x + 1 = 0, 2. 2sinx - 1 = 0

х = + , n  Z. x = (-1)^k + pk, k  Z.

0 х 

I. х = + , n Z II. x = (-1)^k + pk, k Z

1. n = 0 1. k = 0

sin = sin =

не удовл-т. О.Д.З. не удовл-т О.Д.З.

2. n = 1 2. k = 1

sin 2p = 0 sin = -

удовл-т О.Д.З. удовл-т О.Д.З.

3. n = 2

sin = -

удовл-т О.Д.З.

Ответ: х = p + 2pk, x = + 2pk, x = + 2pk, k  Z.

• 

Решение.

Введем подстановку t = 2x, получим , где cos t  0,

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим 1 - sin t = 2 cos² t, откуда

1. sin t = -1, 2. sin t = ,

t = - + 2 pk, k  Z; t = (-1)ⁿ + pn, n  Z;

-  t 

I. t = - + 2 pk, k  Z; II. t = (-1)ⁿ + pn, nZ;

1. k = 0, t = - 1. n = 0, t =

удовл-т ОДЗ. удовл-т О.Д.З.

2. n = 1, t =

не удовл-т О.Д.З.

Ответ: t = - + 2 pk, t = + 2 pn,

x = - + pk, k Z, x = + pn, n Z.

3. Отбор корней.

• tgx + tg2x = tg3x

Решение.

О.Д.З.: х  + pk, x  + pk, x  + pk, k  Z.

Заменим tgx + tg2x = , а tg3x = , получим

sin3x (cos3x - cosx cos2x) = 0, sin3x ((cos2x cosx – sin2x sinx) – cosx cos2x) = 0,

sin3x*sinx*sin2x = 0.

1. sin3x = 0 2. sinx = 0 3. sin2x = 0

x = , n  Z, x = ph, h  Z, x = , m  Z.

n = 0, x = 0 уд. h = 0, x = 0 уд. m = 0, x = 0 уд.

n = 1, x = уд. h =1, x = p уд. m = 1, x = не уд.

n = 2, x = уд. h = 2, x = 2 p уд. m = 2, x =  уд.

n = 3, x = p уд. m = 3, x = не уд.

n = 4, x = уд.

n = 5, x = уд.

Ответ: x = , n  Z.

IV. Подведение итогов семинара.

9