Как научить учащихся решать решать текстовые задачи

Как научить учащихся

решать текстовые задачи

Бурдина Людмила Геннадьевна

учитель математики и информатики

МБОУ «Грачёвская средняя общеобразовательная школа»

Как научить учащихся

решать текстовые задачи

Положение текстовых задач в общей структуре КИМ в настоящее время четко зафиксировано.

КИМ ОГЭ: № 22

КИМ ЕГЭ профиль: № 1 (простейшие текстовые задачи) и № 11

КИМ ЕГЭ база: № 3 и 7 (простейшие текстовые задачи)

Процесс решения математической задачи можно разделить на восемь этапов

Первый этап – анализ задачи;

Второй этап – схематическая запись задачи;

Третий этап – поиск способа решения задачи;

Четвертый этап – осуществление решения задачи;

Пятый этап – проверка решения задачи;

Шестой этап – исследование задачи;

Седьмой этап – формулирование ответа задачи;

Восьмой этап – анализ решения задачи.

Задачи на смеси и сплавы можно классифицировать как:

1.Задачи на повышение концентрации;

2.Задач на понижение концентрации;

3.Задачи на высушивание

4. Задачи на вычисление количества чистого вещества в смеси (или сплаве)

5.Задачи на вычисление массы смеси (сплава)

Трудности при решении этих задач могут возникнуть на различных этапах:

• составления математической модели (уравнения, системы уравнений)

• решения полученной модели;

• анализа математической модели (по причине кажущейся ее неполноты: не хватает уравнений в системе или слишком много неизвестных и пр.)

При решении задач данного типа используются следующие допущения:

1. Всегда выполняется «Закон сохранения объема или массы»:

если два раствора (сплава) соединяют в «новый» раствор (сплав),

то выполняются равенства:

V3 = V1 + V2 - сохраняется объем;

m3 =m1+ m2 - закон сохранения массы.

2. Данный закон выполняется и для отдельных составляющих частей

(компонентов) сплава (раствора).

3. При соединении растворов и сплавов не учитываются химические взаимодействия их отдельных компонентов.

4. Концентрация - это число, показывающее, сколько процентов от всей смеси составляет растворимое вещество. С =

I. Решение задач вместе с учителем (1-2 задачи)

Задача 1: Имеются два сплава серебра с медью. В первом содержится 10% серебра, во втором – 25%. Сколько килограмм второго сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы получить сплав с 20% содержанием серебра?

• Анализ задачи (необходимо изучить текст задачи до полного понимания).

• О каких объектах идет речь в задачи? ( в задаче речь идет о трех объектах )
• Какие объекты? ( первый сплав, второй сплав и третий сплав ).
• Как получили третий сплав?( третий сплав получается путем соединения первых двух сплаво в)
• Из чего состоит каждый сплав? ( каждый сплав состоит из меди и серебра )
• Чему равна масса каждого сплава? ( масса первого сплава 10 кг, а массы 2-го и 3-го не знаем )
• Что еще известно из условия задачи? ( сколько процентов серебра в каждом сплаве, в 1-ом 10%, во 2-ом 25% и в 3-ем 20% )
• Что не известно? ( не знаем, сколько килограмм меди и сколько килограмм серебра в каждом сплаве )
• Что нужно найти в задаче? ( необходимо найти массу второго сплава )

3) Поиск способа решения задачи.

Нужно найти массу второго сплава. Для этого мы должны знать массу третьего сплава, т. е в задаче две неизвестных. Чтобы найти эти неизвестных необходимо составить два уравнения. Нам известно количество серебра в каждом сплаве, но оно выражено в процентах. Необходимо вспомнить, как найти процент от числа.

Теория: Представим процент в виде десятичного числа 10% = 0.1

20% = 0.2

25% = 0.25

Найдем дробь от числа 10 кг* 0.1 = 1 кг серебра в первом сплаве.

Чтобы найти, сколько килограмм серебра во втором и третьем сплавах необходимо ввести неизвестные.

4) Осуществление решения задачи.

Пусть х кг., масса второго сплава, у кг. масса третьего сплава, тогда 0.25*х кг. масса серебра второго сплава и 0.2*у кг. масса серебра третьего сплава.

Т. к. у нас известно, что масса первого сплава равна 10 кг., второго сплава х кг., а третьего у кг., составим уравнение 10 + х = у.

Т. к. у нас известно, что масса серебра первого сплава равна 1 кг., второго сплава 0,25*х кг., а третьего 0,2*у кг., то составим уравнение 1 + 0,25*х = 0,2*у.

Составим и решим систему уравнений:

5) Проверка решения задачи.

Мы нашли, что второй сплав имеет массу 20 кг, так как серебра в нем 25%, то 20* 0,25 = 5 кг серебра во втором сплаве; 1+5 = 6 кг серебра в третьем сплаве;

Масса третьего сплава 30 кг, а серебра в нем 20%, следовательно, в третьем сплаве 30*0,2 = 6 кг серебра.

Получили верное равенство 6 = 6.

6) Формулирование ответа задачи.

6 кг второго сплав нужно добавить к 10 кг первого сплава, чтобы получить сплав с 20% содержанием серебра.

ОТВЕТ: 6

- Можно ли было решить эту задачу используя только одну переменную?

II. Заполни пропуски (выполняют самостоятельно)

III. Найди ошибку (выполняют самостоятельно)

IV. Реши задачу, используя схему (выполняют самостоятельно)

V. Задачи для самостоятельного решения

№ 1 Имеются два сплава с содержанием цинка 15% и 22%. Какова будет концентрация цинка, если сплавить 90 кг первого и 50 кг второго.

№ 2 Сколько миллилитров 55% раствора уксуса нужно добавить к 500 миллилитрам 1% раствора, чтобы получить 5% раствор уксуса?

№ 3 Смешали некоторое количество 12% раствора вещества с таким же количеством 22% раствора этого же вещества. Какова концентрация (в процентах) вещества в новом растворе?

№ 4 В сосуд, содержащий 8 литров 14% раствора кислоты, добавили 12 литров воды. Сколько процентов кислоты содержится в новом растворе?

№ 5 Сколько килограмм 17% сплава меди нужно добавить к 5 килограммам 10% сплава меди, чтобы получить 12% сплав?

Существуют следующие способы решения задач на концентрацию, смеси и сплавы:

• с помощью таблиц;
• с помощью схемы;
• старинным арифметическим способом;
• алгебраическим способом;
• с помощью графика;
• с помощью расчетной формулы.
• правило квадрата
• приравнивание площадей равновеликих прямоугольников
• Способ Л.Ф.Магницкого для трех веществ
• Правило креста

6

Старинный способ решения задач на смешивание двух веществ.

• У некоторого человека были на продажу масла двух сортов: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла ценою 7 гривен?

Вывод: дешёвого масла нужно

взять втрое больше чем дорогого,

т.е. для получения одного ведра

ценою 7 гривен нужно взять

дорогого масла ¼ ведра, а

дешёвого масла 3/4

7

3

1

10

Решение задач на смеси методом приравнивание площадей равновеликих прямоугольников

Способ Л. Ф. Магницкого для трёх веществ.

Некто имеет чай трёх сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?

5

2

5

6

6

6

1

1

8

12

Взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт. Возьмём 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по 1/10 фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценой 8/10∙5+1/10∙8+1/10∙12=6 гривен.