Комплексные числа.

Комплексные числа.

Определение. Комплексным числом называется выражение вида z=a+bj, где a и b – некоторые действительные числа, j – некоторый символ (мнимая единица).

Определение. Мнимой единицей называется число j, квадрат которого равен -1, т.е.

Пример:

Определение. Объединение множества действительных чисел с мнимой единицей называется множеством комплексных чисел и обозначается «С».

Замечание:

Если a≠0, b=0, то z=a+0j – действительное число

Если a=0, b≠0, то z=0+bj – мнимое число

Если a=0, b=0, то z=0+0j – нулевое число

Определение. Запись комплексного числа z в виде суммы двух комплексных чисел частного вида – действительного числа a и мнимого числа bj, т.е. в виде a+bj называется алгебраической формой комплексного числа, где a - действительная часть комплексного числа, b - мнимая часть комплексного числа.

Виды комплексных чисел:

1. – противоположное число;

2. - сопряженное число.

Комплексное число z=a+bj геометрически изображается точкой М(a,b) на координатной плоскости и наоборот: каждая точка координатной плоскости изображает какое либо комплексное число.

Комплексное число z=a+bj геометрически изображается радиусом вектора ОМ с координатами (а;b).

Определение. Длина радиуса вектора изображающего комплексное число z=a+bj, называется модулем комплексного числа и обозначается «r»,

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Комплексные числа в смысле «», «

Определение. Аргументом комплексного числа называется величина угла, образованного радиус – вектором, изображающим комплексное число с положительным направлением действительной оси.

и

Пример. Решить уравнение:

Ответ: Корнями уравнения являются два сопряженных комплексных числа.

Задания

Представить комплексные числа в тригонометрической и показательной форме:

Определение. Аргументом комплексного числа называется величина любого направленного угла, образованного положительным направлением действительной оси и вектором, соответствующим числу z:

Аргумент вычисляется по одной из четырех формул:

Если , то Если , то

Если , то Если , то

Тригонометрическая форма комплексного числа

Определение. Выражение вида , где r- модуль, φ – аргумент комплексного числа, j – мнимая единица, называется тригонометрической формой комплексного числа. ; - формулы перехода от тригонометрической формы к алгебраической форме.

Пример. Перевести комплексное число z = 2,6( в алгебраическую форму записи.

Решение.

Ответ: z

Переход из тригонометрической формы к алгебраической, производится с помощью калькулятора. r(cosφ+sinφj)=a+bj

Формулы перехода от алгебраической к тригонометрической форме комплексного числа: ; ; .

Показательная форма комплексного числа

Формула Эйлера:

Определение. Выражение вида , где r-модуль, φ-аргумент, j-мнимая единица, называется показательной формой комплексного числа.

Так как комплексное число в показательной форме задается модулем r и аргументом φ, то формулой перехода от алгебраической формы к показательной и наоборот, такие же, как от тригонометрической к показательной и наоборот.

Пример. Перевести комплексное число z = в тригонометрическую и показательную формы записи.

Решение.

Так как комплексное число z = вида , то

Ответ: z =

Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической, осуществляется с помощью калькулятора. a+bj=r(cosφ+sinφj).

Действия над комплексными числами в показательной форме записи

Пусть даны комплексные числа: ;

1. умножение:

2. деление:

3. возведение в натуральную степень: z=

4. извлечение корня n-й степени: к=0,1,…,(n -1)

Примеры.

Вычислить: 1) ;

2)