Конспект урока по теме: "Практические приложения подобия треугольников "

Геометрия, 8 класс

Урок № 41 03.02.2022

Тема урока: Практические приложения подобия треугольников

Цели урока:

• закрепить  умение  решения  задач  на  построение  методом подобия.

• Развивать логическое мышление, творческие способности учащихся, математическую речь.

• Развитие любознательности, интереса к геометрии.

Тип урока: усвоение новых знаний и умений.

Оборудование: доска, мел, учебник, презентация.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Рассмотреть решение задач № 586, № 587.

II. Анализ самостоятельной работы.

III. Решение задач.

№ 590.

Решение

Дано:

Построить:  АВС,  С = 90°, АВ = PQ,  .

Анализ. Задачу будем решать методом подобия. Сначала можно построить какой-нибудь прямоугольный треугольник АВ1С1 ( С1 = 90°) так, чтобы  , а затем, используя условие АВ = PQ, построить искомый треугольник АВС.

Построение.

1. Строим треугольник АВ1С1 так, чтобы  С1 = 90°,  С1А = Р1Q,  С1В1 = Р2Q2  (п. 38, зад. 1).

2. На луче АВ1 отложим отрезок АВ = РQ.

3. Через точку В проведем прямую, параллельную В1С1. Она пересекает луч АС1 в точке С. Треугольник АВС – искомый.

Доказательство.

АВС  А1В1С1  по   первому   признаку   подобия   треугольников  ( А – общий,  С =  С1, так как ВС || В1С1),  поэтому  С = 90°,  .

Сторона АВ равна данному отрезку PQ по построению. Итак, треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование.

Из  построения  следует,  что  задача  при  любых  данных  отрезках PQ, Р1Q1 и P2Q2 имеет решение. Задача имеет единственное решение. В самом деле, если  А1В1С1  и  А2В2С2 удовлетворяют условиям задачи, то они подобны,  а  так  как   А1В1 = РQ, А2В2 = РQ, то А1В1 = А2В2 и, значит,  А1В1С1 =  А2В2С2.

№ 622.

Дано:  АВС.

Построить  А1В1С1 :   = 2SАВС и  А1В1С1  АВС.

Построение.

1) Построим  АВF  так, чтобы АВ  ВF и BF = АВ (как описано в задаче № 290).

2) Построим  АCЕ так, чтобы СЕ  АС и СЕ = АС аналогично.

3) На лучах АВ и АС отложим соответственно отрезки АВ1 = AF и АС1 = АЕ.

4) Проведем отрезок В1С1.

5) Тогда  АВ1С1 – искомый.

Доказательство.

1) По теореме Пифагора

2) По построению AB1 = AF =  AB.

AC1 = AE =  AC.

3)  .

4)  А1В1С1  АВС (по второму признаку).

5)   = 2.

Поэтому  АВ1С1 удовлетворяет всем условиям задачи.

IV. Самостоятельная работа.

Вариант I

Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и медиане, проведенной из вершины этого угла.

Вариант II

Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и биссектрисе прямого угла.

3 : 4  его  диагоналей.

V. Итоги урока.

Домашнее задание:  вопросы  8–12  на  с. 160–161;  № 588,  прочитать п. 65.

№ 588.

Дано:  А,  , AM – медиана.

Построить: ΔАВС.

Построение.

1) На произвольной прямой отметим произвольно точку А и отложим  А.

2) Пусть а – произвольный единичный отрезок.

3) На сторонах  А отложим отрезки АВ1 = 2а и АС1 = 3а.

4) Проведем В1С1 и разделим его пополам точкой О.

5) Проведем луч АО и отложим отрезок АМ.

6) Через точку М проведем прямую b || B1C1; точки пересечения со сторонами угла А обозначим В и С.

7)  АВС – искомый.

Доказательство.

1)  АВС  АВ1С1 ( A – общий,  AВ1С1 =  AВС, как соответственные при ВС || B1C1 и секущей АВ).

2)  .

3) Аналогично доказывается, что  = 1.

4) Полученный  АВС – искомый, так как АМ – медиана,   по доказанному.