Конспект урока "Признак перпендикулярности"

Конспект урока по геометрии для учащихся 10 класса

Тема: «Признак перпендикулярности прямой и плоскости».

Цель урока:

Образовательная: расширить представления о перпендикулярности прямой и плоскости, закрепить вопросы теории по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»; выработать навыки решения основных типов задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

Развивающая: развитие познавательных процессов учащихся, логического и математического мышления, воображения, устойчивости, гибкости и способности к распределению внимания.

Воспитательная: воспитание у учащихся аккуратности и точности при выполнении заданий у доски и ведения тетрадей, умения работать в коллективе, коммуникабельности, дисциплинированности на уроке, ответственности за свои действия, самостоятельности, воспитание интереса к предмету.

Тип урока: урок изучения нового материала

Методы обучения: индуктивно – репродуктивный.

Оборудование: набор чертежных инструментов.

Литература:

1.Геометрия, 10–11: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. –16-е изд. – М.: Просвещение, 2007. –256 с.

2.Поурочные разработки по геометрии: 10 класс/ Сост. В.А. Яровенко.-М.: ВАКО, 2011.-304 с.- (В помощь школьному учителю).

3.Саранцев Г. И. «Упражнения в обучении математике»: Просвещение, 2005, с. 256

План урока:

1. Организационный момент(2 мин).

2. Актуализация знаний (5 мин).

3. Изучение нового материала (15 мин).

4. Закрепление изученного материала (20 мин).

5. Подведение итогов( 2 мин)

6. Домашнее задание (1 мин).

Ход урока:

1. Организационный момент

Включает в себя приветствие учителем учащихся, проверку отсутствующих, готовность помещения к уроку.

Деятельность учителя:

Запишите сегодняшнее число, классная работа и тему урока: «Признак перпендикулярности прямой и плоскости». Изучим теорему, выражающую признак перпендикулярности прямой и плоскости, выработаем навыки решения основных типов задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

Запись на доске:

Число

Классная работа

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

1. Актуализация знаний

   Деятельность учителя

   Деятельность ученика

   1. Сформулируйте лемму о перпендикулярности двух прямых к третьей. 2. Какая прямая называется прямой перпендикулярной к плоскости 3.Сформулируйте теорему о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости 4.Сформулируйте теорему обратную теореме о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости

   Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

2. Изучение нового материала

Деятельность учителя

Мы с вами уже знаем, что прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Но в плоскости может находиться бесчисленное множество прямых и возникает сомнение, а существует ли такая прямая, которая перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в этой плоскости. Признак, который мы с вами сегодня докажем, утверждает, что да, существует.

Итак, формулировка признака такова: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в этой плоскости.

Запись на доске и в тетрадях

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в этой плоскости.

Деятельность учителя

Дано: ; ; ; ;

Доказать: .

Доказательство:

При доказательстве мы будем использовать свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Что называется серединным перпендикуляром к отрезку?

Деятельность ученика

Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину.

Деятельность учителя

Нам нужно доказать, что . Для этого нужно доказать, что прямая a перпендикулярна к любой (произвольной) прямой m на плоскости . Рассмотрим сначала случай, когда прямая a проходит через точку пересечения О.

Запись на доске и в тетрадях

Деятельность учителя

Проведем через точку О прямую l, параллельную прямой m. Отметим на прямой a точки А и В, равноудаленные от точки O, и проведем в плоскости прямую, пересекающую прямые p, l и q соответственно в точках P, L и Q. Так как прямые p и q – серединные перпендикуляры, то АР=ВР и AQ=BQ. Следовательно, ∆APQ=∆BPQ (по трем сторонам). Тогда APL= BPL и ∆ APL= ∆ BPL (по двум сторонам и углу). Тогда AL=BL. Следовательно, ∆ALB – равнобедренный, отрезок LO является медианой и высотой в этом треугольнике, то есть . Так как и , то ( по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей). Итак, прямая a перпендикулярна к любой прямой m плоскости , то есть .

Запись на доске и в тетрадях

Проведем через точку О прямую l, параллельную прямой m. Отметим на прямой a точки А и В, равноудаленные от точки O, и проведем в плоскости прямую, пересекающую прямые p, l и q соответственно в точках P, L и Q. Так как прямые p и q – серединные перпендикуляры, то АР=ВР и AQ=BQ. Следовательно, ∆APQ=∆BPQ (по трем сторонам). Тогда APL= BPL и ∆ APL= ∆ BPL (по двум сторонам и углу). Тогда AL=BL. Следовательно, ∆ALB – равнобедренный, отрезок LO является медианой и высотой в этом треугольнике, то есть . Так как и , то ( по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей). Итак, прямая a перпендикулярна к любой прямой m плоскости , то есть .

1. Закрепление изученного материала

Деятельность учителя

Давайте решим несколько задач на закрепление изученного материала. Прочитайте задачу под номером 121.

Деятельность ученика:

В Треугольнике АВС дано: С=90 , АС=6 см, ВС=8см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК=12 см. Найдите КМ.

Деятельность учителя:

К доске пойдет …

К доске выходит ученик, остальные решают у себя в тетрадях.

Деятельность учителя:

Далее самостоятельно решите задачу 43из рабочих тетрадей под пунктами а и b.

1. Подведение итогов

Деятельность учителя:

Какую теорему мы доказали на сегодняшнем уроке?

Деятельность ученика:

Теорему, выражающую признак перпендикулярности прямой и плоскости

Деятельность учителя:

Сформулируйте данный признак

Деятельность ученика:

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в этой плоскости.

Повторяют теорему все ученики, с целью запоминания теоремы.

Деятельность учителя:

выставляет отметки за урок

1. Домашнее задание.

Деятельность учителя:

Упражнение 44 из рабочей тетради. № 120 из учебника.