| 2. Изучение нового материала Сегодня мы рассмотрим с вами простейшие комбинации, которые можно составить из элементов конечного множества. И этими комбинациями являются перестановки. Запишите в своих тетрадях тему сегодняшнего урока: «Перестановки». Рассмотрим с вами следующую задачу (условия задачи записывайте в тетрадях). Задача 1. Сколькими способами можно расставить на библиотечном стенде три журнала: по физике, по математике и по информатике? Давайте рассмотрим все возможные случаи таких расстановок. Пусть первым будет стоять журнал по физике (Ф). Тогда возможны такие расположения журналов: ФМИ, ФИМ. Если первым поставить журнал по математике (М), то можно получить следующие расположения: МФИ, МИФ. А если первым поставить журнал по информатике (И), то можно получить следующие расположения: ИФМ, ИМФ. Таким образом, мы можем расставить на стенде три журнала 6 способами.
Каждое из полученных нами расположение (МИФ, ИМФ и др.) называют перестановкой из трех элементов. Давайте запишем общее определение перестановки из n элементов (запись справа). Число перестановок из n элементов обозначается Pn (и читается «P из n»).
Число перестановок из n элементов можно посчитать, не выписывая все комбинации элементов. Для этого достаточно воспользоваться комбинаторным правилом умножения. Сколькими способами можно выбрать первый элемент перестановки из n элементов? А сколькими способами можно выбрать второй элемент из оставшихся (n-1) элементов? И т. д. Тогда, по комбинаторному правилу умножения, получаем: Pn = n*(n-1)*…*2*1. Если мы расположим множители в порядке возрастания, то получим Pn=1*2*3*…*(n-2)*(n-1)*n. Запишите это. Можно заметить, что мы записали произведение первых n натуральных чисел. Для обозначения такого произведения используют запись «n!» (читается «n факториал»). Таким образом, число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле Pn=n!. Запишите это. Например, 2! = 1*2 = 2; 5! = 1*2*3*4*5 = 120. Запишите эти примеры себе в тетради. Также отметьте, что по определению, 0! = 1.
Таким образом, возвращаясь к задаче о расстановке журналов, количество способов можно было посчитать по формуле P(3) = 1*2*3 = 6. Отметьте это как второй способ решения. |
(Записывают тему урока) (Записывают условие и решение) Задача 1. Сколькими способами можно расставить на библиотечном стенде три журнала: по физике, по математике и по информатике? Решение. Возможные расстановки. Если первым стоит журнал по физике (Ф): ФМИ, ФИМ. Если первым стоит журнал по математике (М): МФИ, МИФ. Если первым стоит журнал по информатике (И): ИФМ, ИМФ. N = 6 способов. Ответ: 6 способов.
Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке. Число перестановок из n элементов обозначается Pn («P из n»).
N способами.
(N-1) способами.
Pn=1*2*3*…*(n-2)*(n-1)*n
Число всевозможных перестановок из n элементов: Pn=n!.
2! = 1*2 = 2; 5! = 1*2*3*4*5 = 120.
По определению, 0! = 1.
2 способ решения задачи 1. P(3) = 1*2*3 = 6 (способов). Ответ: 6 способов. |
| 3. Закрепление изученного материала
Теперь перейдем к решению задач.
№ 732 Сколькими способами 4 человека могут разместиться на четырехместной скамейке?
№ 734 (самостоятельно с последующей проверкой) Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?
№ 737 (а) Сколько шестизначных чисел, в записи которых каждая цифра используется только один раз, можно составить из цифр 1, 2, 5, 6, 7, 8?
№ 738 (б) Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без их повторения), таких, которые кратны 15?
№ 739 Найдите сумму цифр всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 (без их повторения). |
(Оформляют решение задач в тетради; у доски при решении примеров также работают учащиеся).
№ 732 P(4) = 1*2*3*4 = 24 (способа). Ответ: 24 способа.
№ 734 P(9) = 1*2*3*4*5*6*7*8*9 = 362880 (способов). Ответ: 362880 способами.
№ 737 P(6) = 1*2*3*4*5*6 = 720 (чисел). Ответ: 720 чисел.
№ 738 Т.к. сумма 3+5+7+9=24 кратна 3, то для того, чтобы составленное из этих цифр число было кратно 15, необходимо, чтобы оно заканчивалось на 5. Тогда N=P(3)*1=1*2*3*1=6 (чисел). Ответ: 6 чисел.
№ 739 Кол-во четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7: P(4) = 1*2*3*4 = 24 (числа). Т.к. числа состоят из одинаковых цифр, то сумма всех цифр полученных чисел будет равна 24*(1+3+5+7)=384. Ответ: 384. |
13 934
2 703 
