Конспект урока Сочетания

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1. Организационный момент

Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.

Включаются в деловой ритм урока.

2. Изучение нового материала

Сегодня мы переходим к рассмотрению третьего вида комбинаций, которые можно составить из элементов конечного множества. Эти комбинации носят название сочетания из n элементов по k элементов.

Прежде чем разобраться, что это за комбинации, запишите в своих тетрадях тему сегодняшнего урока: «Сочетания». А теперь рассмотрим с вами следующую задачу (условия задачи записывайте в тетрадях), после чего мы дадим определение сочетанию из n элементов по k.

Задача 1.

Пусть имеются три шара: красный (К), зеленый (З) и синий (С). Также имеется две пустые ячейки, в каждую из которых можно поместить только по одному из имеющихся шаров. Сколькими способами можно разместить шары в данные ячейки без учета порядка шаров?

Пусть в первую ячейку помещен красный шар. Тогда к нему можно добавить зеленый (пара КЗ) или синий (пара КС) шар. Таким образом, получаем пары КС и КЗ, а пары СК и ЗК в дальнейшем не учитываем, так как порядок следования шаров нам не важен. Тогда остается еще одна возможная пара: ЗС. Таким образом, число сочетаний из 3 шаров по 2 равно 3. Обозначается это следующим образом: .

А теперь запишите в тетрадях определение сочетания из n элементов по k (запись справа).

В отличие от размещений в сочетаниях не имеет значения порядок следования элементов.

Как и для размещений, для подсчета числа сочетаний не обязательно составлять все сочетания. Давайте получим формулу для вычисления числа сочетаний из n элементов по k.

Пусть имеется множество, содержащее n элементов, и из его элементов составлены все возможные сочетания по k элементов. Число таких сочетаний равно . В каждом таком сочетании можно выполнить перестановок. В результате получим все размещения, которые можно составить из n элементов по k (). Тогда имеем следующую формулу: . Откуда . Запишите это в своих тетрадях. Таким образом, используя формулы для и имеем следующую формулу для подсчета числа сочетаний из n элементов по k: . Также запишите её себе в тетради.

(Записывают тему урока)

(Записывают условие и решение)

Задача 1.

Пусть имеются три шара: красный (К), зеленый (З) и синий (С). Также имеется две пустые ячейки, в каждую из которых можно поместить только по одному из имеющихся шаров. Сколькими способами можно разместить шары в данные ячейки без учета порядка шаров?

Решение.

Возможные варианты сочетаний:

КЗ, КС,

ЗС.

Таким образом, число этих размещений .

Ответ: 3 способа.

Сочетанием из n элементов по k, где k  n, называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.

Взаимосвязь размещений и сочетаний из n элементов по k: .

Число сочетаний из n элементов по k:

3. Закрепление изученного материала

Теперь перейдем к решению задач.

№ 768

В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

№ 770 (самостоятельно с последующей проверкой)

Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

№ 772

Из лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) заведующий должен ехать в командировку;

б) заведующий должен остаться?

№ 774

Бригада, занимающаяся ремонтом школы, состоит из 12 маляров и 5 плотников. Из них для ремонта физкультурного зала надо выделить 4 маляров и 2 плотников. Сколькими способами это можно сделать?

(Оформляют решение задач в тетради; у доски при решении примеров также работают учащиеся).

№ 768

(способ).

Ответ: 21 способ.

№ 770

(способов)

Ответ: 210 способов.

№ 772

а) (способа)

б) (способа)

Ответ: а) 462 способа; б) 252 способа.

№ 774

(способов) – выбрать маляров.

(способов) – выбрать плотников.

(способов) – выбрать бригаду для ремонта спортзала.

Ответ: 4950 способов.

4. Подведение итогов

Подведем итоги нашего занятия.

С каким понятие комбинаторики вы познакомились сегодня на уроке?

Что называется сочетанием из n элементов по k?

По какой формуле подсчитывается число сочетаний из n элементов по k?

(Отвечают на вопросы)

С понятием «Сочетания из n элементов по k элементов».

Сочетанием из n элементов по k элементов (k  n) называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.

Число всевозможных сочетаний из n элементов по k рассчитывается по формуле .

5. Домашнее задание

§11, п. 33.

№ 769

№ 771

№ 773

№ 775

Записывают в дневниках д/з.