Лекция "Понятие производной"

209 законспектировать и выполнить задания! Прислать на почту: [email protected]

Тема: Определение производной. Формулы и правила дифференцирования

Цели урока:

• ввести понятие производной;

• рассмотреть формулы и правила производных

Теоретический материал (законспектировать)

Понятие производной

Пусть – некоторая функция, определенная на промежутке (a; b) и - некоторая фиксированная точка этого промежутка. Возьмем произвольное значение x из промежутка (a; b) и составим разность x - . Разность x - называют приращением независимой переменной (или приращением аргумента) функции в точке и обозначают :

= x - (1)

Приращением функции в точке называют разность между значением функции в точке и значением функции в точке и обозначают :

= (2)

Т.к. точка считается фиксированной, приращением функции является функцией приращения аргумента .

Составим отношение

,

которое также будет функцией приращения аргумента ; и рассмотрим предел этого выражения при , стремящемся к нулю:

.

Если этот предел существует, то говорят, что функция имеет производную в точке , и пишут:

(3)

Читают: f ^/(x₀) – (эф штрих от х₀).

Число называется производной функции в точке .

Нахождение производной называется дифференцированием функции.

Если существует предел (3), также говорят, что функция дифференцируема в точке .

Если функция дифференцируема в каждой точке промежутка (a; b), то говорят, что она дифференцируема в промежутке (a; b).

Производная функции , дифференцируемой в промежутке (a; b), сама является функцией x.

Алгоритм отыскания производной функции y = f ( x )

Чтобы вычислить производную функции в точке нужно:

1. найти приращение функции: = f ( x₀ + ) - f ( x₀ ).

2. найти отношение .

3. вычислить предел этого отношения: . Этот предел и есть f ^/ ( x ).

Производная – это «новая» функция, произведенная от данной функции по указанному правилу.

Определим производные следующих функций:

а) линейной функции

б) квадратичной функции

в) кубической функции

Решение:

а).

1.

2.

3. . Значит,

б).

1.

2.

3. . Значит,

в).

1. .

2.

3. Значит,

Для аргумента в первой, во второй и в третьей степени мы можем получить следующее:

Применяя метод математической индукции, формула производной степенной функции будет выглядеть следующим образом:

Приняв и , получаются следующие формулы:

и

Производные элементарных функций

1. производная постоянной величины равна нулю.

2. , где p-любое число, в частности , , ,

3. , в частности

4. , в частности

5. 6. 7. в частности, 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Пример: Используя формулу найдите производные:

a)

б)

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

Правила дифференцирования

Практическое задание:

Дифференцирование функций (выполнить самостоятельно)