Исследование функции при помощи производных

Исследование функции при помощи производных

11 класс

Тема: «Исследование функции при помощи производных».

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментального раздела математики – начала математического анализа; систематизация, обобщение и закрепление знаний по теме «Исследование функции с помощью производной»; расширение знаний о способах исследования функции при помощи производной; введение определения асимптот графика функции; выявление уровня овладения учащимися комплекса знаний и умений по теме.

Задачи: применение производной для исследования функции; построение графика функции на основе проведенных исследований; развитие творческого профессионального мышления, познавательной мотивации; овладение языком науки, навыками оперирования понятиями; овладение умениями и навыками постановки и решения задач; углубление теоретической и практической подготовки; развитие коммуникативной и информационной культуры обучающихся, умения обучающихся данной группы построить на короткое время взаимодействие, исходя из поставленных задач.

Обучающиеся должны знать: схему построения графика функции.

Обучающиеся должны уметь: проводить исследование функций с помощью производных и строить их графики.

Оснащение урока: мультимедиа проектор, экран, классная доска, раздаточный материал к уроку, мел.

Тип занятия: комбинированный урок.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Цель :постановка цели и задачи урока; ознакомление с планом работы на уроке; психологический настрой на предстоящее занятие.

Задачи: целевая установка; мотивация и стимулирование деятельности, мобилизация учебной деятельности.

Содержание:

-Взаимное приветствие.

-Пожелание успешной совместной деятельности.

-Проверка готовности аудитории и студентов к занятию.

-Определение отсутствующих.

-Ознакомление ребят с темой и планом занятия, совместная формулировка целей и задач.

-Обучающиеся записывают тему занятия, осмысливают цель.

2. Проверка домашнего задания.

Цель: проверка усвоения пройденного материала; выявление факта выполнения домашнего задания у обучающихся; выявление причин невыполнения домашнего задания; корректирование дальнейшей работы.

Задачи: активизация необходимых знаний; выявление правильности и осознанности выполнения домашнего задания; устранение обнаруженных пробелов в знаниях.

Содержание:

Ребята, прежде чем мы познакомимся с новыми понятиями, давайте проверим, как вы справились с домашним заданием.

- Обучающиеся самостоятельно проверяют выполненное ими домашнее задание и устраняют ошибки (решение выведено на экран).

1. Найдите интервалы монотонности функции:

а) f(х)=2х²-4х+5; б)f(х)= х³-2х²+3х+1.

2. Исследуйте функцию на экстремум:

а) f(х)=-х²+2х+3; б)f(х)= х³-4х.

3. Найдите интервалы выпуклости и точки перегиба графиков функции:

а) f(х)=х³-6х²+2х-6; б)f(х)=х⁴-6х³+12х²-10.

-Несколько тетрадей берется на проверку, с выставлением оценок.

-Ответить на вопросы, возникшие у обучающихся при выполнении домашнего задания.

-Предложить обучающимся, не выполнившим домашнее задание прийти на консультацию.

3. Всесторонняя проверка знаний (фронтальный опрос).

Цель: повторение, обобщение и систематизация знаний, полученных на предыдущих занятиях.

Задачи: активизация познавательной деятельности; мобилизация умственных и волевых усилий на овладение учебным материалом; развитие навыков устной речи, культуры математической речи, памяти.

Содержание:

С группой проводится фронтальный опрос и устная работа.

Сформулируйте общую схему исследования функции.

Обучающиеся формулируют этапы исследования функции. Выслушиваются ответы. С помощью проектора схема исследования функции выводится на экран.

А теперь на примерах, рассмотрим отдельные пункты этой схемы.

-Найдите область определения функций:

1)f(х)= 2)f(х)= ; 3)f(х)= + .

-Определите, какие функции являются четными, а какие нечетными, если: 1)f(х)=х²+х⁴; 2)f(х)= ; 3)f(х)= .

-Укажите нули функций:

1)f(х)=х²-х 2)f(х)=(х+3)(х-1)(х+7); 3)f(х)= .

-На рисунке изображен график производной функции у=f(х) на промежутке (-6;8).

1)Сколько экстремумов имеет функция на этом промежутке?

2) Назовите промежутки возрастания функции.

3) Назовите промежутки убывания функции.

4) Сколько точек перегиба имеет функция на этом промежутке?

5) Назовите интервалы выпуклости функции.

6) Назовите интервалы вогнутости функции.

4. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

Цель: совершенствование практических навыков построения графика функции по изученной схеме; развитие умений обобщать, анализировать и применять теоретические знания на практике.

Задачи: развитие умений оперировать ранее полученными знаниями; развитие графической культуры.

Содержание:

Работа в группах.

Работа в группах создает условия для развития коммуникаций обучающихся. Моя роль заключается в координации и консультации.

Обучающимся сообщается информация о предстоящей работе:

-следуя алгоритму- исследуйте функцию и постройте ее график;

-все члены группы должны разобраться с решением задания;

-проверьте правильность построения графика функции по эталону (с помощью проектора);

-проанализируете работу и выставите оценки в оценочный лист.

Карточка с заданием для 1 группы.

Постройте график функции f(х)= х³-6х²+9х-3.

Карточка с заданием для 2 группы.

Постройте график функции f(х)= 4х²-х⁴.

Карточка с заданием для 3 группы.

Постройте график функции f(х)= х³+3х²-2.

Карточка с заданием для 4 группы.

Постройте график функции f(х)= 5х³-3х⁵.

На данном этапе, для обучающихся и преподавателя, немаловажным является понять, усвоен ли материал по теме «Исследование функции с помощью производной».

5. Усвоение новых знаний.

Цель: введение нового определения асимптот графика функции; расширение знаний о способах исследования функции при помощи производной;

Задачи: осмысление и запоминание новых определений; обучение использованию полученных знаний при построении графиков функции.

Содержание:

-Для предложенных Вам функций этой схемы вполне достаточно, однако если функция дробно-рациональная, то для более точного построения ее графика, необходим еще один важный пункт – наличие асимптот.

Асимптоты гиперболы исследовал еще Архимед, однако термин «асимптота» был введен позже другим древнегреческим математиком. Правильно выполнив следующее задание, вы сможете узнать его имя.

А П О Л Л О Н И Й П Е Р Г С К И Й

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

На слайде даны коды.

Например, вычислив предел, мы узнаем первую зашифрованную букву.

№1 = ,следовательно, первая зашифрованная буква – А.

Студенты работают в группах.

1 группа. 2 группа.

№ 2 № 6

№ 3 № 7

№ 4 № 8

№ 5 № 9

3 группа. 4 группа.

№ 10 № 14

№ 11 № 15

№ 12 № 16

№ 13 № 17

-Объяснение нового материала.

Асимптоты графика функции.

Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремиться к нулю.

Различают два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Если = , или = , или = , то прямая x=a, является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x).

Если существует наклонная асимптота y=kx+b, то kи bнаходятся по формулам:

k =

b= ].

Если k = 0, то y=b– уравнение горизонтальной асимптоты.

-Примеры. Найти асимптоты кривых:

1) f(х)=

Вертикальные асимптоты:

Прямая х=1, является вертикальной асимптотой. Действительно:

= ; = .

Наклонные:

k = = = 2.

b= ]= = = =1.

y=2x+1 – уравнение наклонной асимптоты.

-Таким образом, общая схема исследования функции и построения графика функции имеет вид:

1. Найти область определения функции.

2. Установить, является ли функция четной или нечетной или ни той, ни другой. Если функция четная или нечетная, то достаточно рассмотреть ее значения лишь при х≥0, а затем симметрично относительно соответственно оси y или начала координат, восстановить ее и для значений х

3. Исследовать функцию на периодичность. Если функция периодическая, то достаточно ее исследование провести на одном периоде.

4. Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва (если они существуют).

5.Найти асимптоты графика функции.

6. Найти (если это возможно) точки пересечения графика с осями координат.

7. Провести исследование функции на экстремум и найти интервалы возрастания и убывания..

8. Найти точки перегиба кривой и интервалы выпуклости и вогнутости.9.Найти дополнительные точки(если это необходимо).

10.Построить график функции.

-Пример. Исследовать функцию и построить ее график: f(х)= .

6. Первичное осмысление и понимание нового материала.

Цель: первичное закрепление изученного материала; формирование умения находить асимптоты и применять новые знания при построении графика функции.

Задачи: формирование первоначальных умений и навыков нахождения асимптот; развитие логического мышления; стимулирование активности, самостоятельности мышления; организация первичной проверки понимания изученного материала; умение работать в группах.

Содержание:

Работа в группах.

Обучающимся сообщается информация о предстоящей работе:

- найдите асимптоты и схематически постройте график функции;

-все члены группы должны разобраться с решением задания;

-оформите работу в тетрадях;

-один человек из группы представляет результат совместной работы, с обоснованиями и пояснениями на доске;

- учащиеся других групп, записывают решения себе в тетрадь;

-оценки выставляются в оценочный лист.

Карточка с заданием для 1 группы.

Найдите асимптоты, и схематически постройте график функции

f(х)= .

Карточка с заданием для 2 группы.

Найдите асимптоты, и схематически постройте график функции

f(х)=

Карточка с заданием для 3 группы.

Найдите асимптоты, и схематически постройте график функции

f(х)= .

Карточка с заданием для 4 группы.

Найдите асимптоты, и схематически постройте график функции

f(х)= .

Моя роль заключается в координации и консультации.

Обучающиеся сдают оценочные листы.

7. Закрепление новых знаний.

Цель: отработка практических навыков в построении графиков; проверка степени усвоения нового материала.

Задачи: закрепление умений и навыков по теме; развитие самостоятельности мышления.

Содержание:

Самостоятельная работа.

Студентом предлагаются задания разного уровня. Уровень А – на отметку «3». Уровень В – на отметку «4». Уровень С – на отметку «5».

1 вариант

Исследуйте функцию и постройте ее график.

А)f(х)= . В)f(х)= .С)f(х)= .

2 вариант

Исследуйте функцию и постройте ее график.

А)f(х)= .В)f(х)= .С)f(х)= .

3 вариант

Исследуйте функцию и постройте ее график.

А)f(х)= .В)f(х)= .С)f(х)= .

4 вариант

Исследуйте функцию и постройте ее график.

А)f(х)= .В)f(х)= + .С) f(х)= .

Обучающиеся сдают выполненные работы.

Работы, выполненная студентами, проверяется после занятия, оценка выставляется в оценочный лист.

8. Информация о домашнем задании, инструкция по его выполнению.

Цель: инструктаж по домашнему заданию.

Задачи: обеспечение понимания обучающимися цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

Содержание:

-Запишите домашнее задание:

А.А. Дадаян «Математика» Москва, ФОРУМ--ИНФРА-М 2006

Стр. 302; упражнение 9.61. (в,е,и).

Для правильного выполнения домашнего задания Вам необходимо выучить теоретический материал урока.

Творческое задание (для групп). Отыщите функцию, описывающую реальные физические процессы, исследуйте эту функцию и постройте график.

Задание по желанию. Сделайте презентацию на любую из предложенных тем:

«Аполлоний Пергский», «Г.Лейбниц», «Я. Бернулли».

9. Подведение итогов, рефлексия.

Цель: подведение итогов; выявление наиболее удачных моментов занятия и наиболее неудачных ;осознание учащимися результативности своей деятельности на уроке, уровня освоения учебного материала.

Задачи: содействовать развитию способности к рефлексии, подведению итогов, определению перспектив работы над учебным материалом.

Содержание:

Беседа по вопросам:

-С какими новыми понятиями вы познакомились в процессе изучения темы?

-Какие новые алгоритмы стали вам известны?

Предложить обучающимся, вспомнить какие цели ставились в начале урока, и обсудить, все ли удалось выполнить.

Проанализировать индивидуальную и групповую работу.

Таким образом, каждый обучающийся ставит перед собой проблему, которую он будет решать при выполнении домашнего задания.

5