Материал для итоговой аттестации

Вопросы теории и практики для подготовки к экзамену

1. Развитие понятия о числе

Целые и рациональные числа. Действительные числа.

1. Корни, степени и логарифмы

Корни и степени. Корни натуральной степени из числа и их свойства. Степени с рациональными показателями, их свойства. Степени с действительными показателями.

Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы. Правила действий с логарифмами. Переход к новому основанию.

Преобразование алгебраических выражений. Преобразование рациональных, иррациональных степенных, показательных и логарифмических выражений.

Арифметические действия над числами, нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений (абсолютной и относительной), сравнение числовых выражений.

Вычисление и сравнение корней.

Решение иррациональных уравнений. Нахождение значений степеней с рациональными показателями. Преобразования выражений, содержащих степени. Решение показательных уравнений.

Нахождение значений логарифма по произвольному основанию. Приближенные вычисления и решения прикладных задач. Решение логарифмических уравнений.

1. Основы тригонометрии

Основные понятия

Радианная мера угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.

Формулы приведения. Формулы сложения. Формулы удвоения

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Обратные тригонометрические функции. Арксинус, арккосинус, арктангенс.

Радианный метод измерения углов вращения и связь с градусной мерой. Основные тригонометрические тождества, формулы сложения, удвоения, преобразование суммы тригонометрических функций в произведение, преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.

Обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс.

1. Функции, их свойства и графики

Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функций, заданных различными способами.

Свойства функции. Монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума..

Обратные тригонометрические функции

Определения функций, их свойства и графики.

Примеры зависимостей между переменными в реальных процессах из смежных дисциплин. Определение функций. Построение и чтение графиков функций. Исследование функции. Свойства и графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения

1. Начала математического анализа

Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей.

Производная. Понятие о производной функции, ее геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частные. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков.

Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.

Первообразная и интеграл. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона—Лейбница.

Числовая последовательность, способы ее задания, вычисления членов последовательности. Производная: механический и геометрический смысл производной.

Уравнение касательной в общем виде. Правила и формулы дифференцирования, таблица производных элементарных функций. Исследование функции с помощью производной. Нахождение наибольшего, наименьшего значения и экстремальных значений функции.

Интеграл и первообразная.

1. Уравнения и неравенства

Уравнения и системы уравнений. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы.

Равносильность уравнений, неравенств, систем.

Основные приемы их решения (разложение на множители, введение новых неизвестных, подстановка, графический метод).

Неравенства. Рациональные, иррациональные, показательные неравенства. Основные приемы их решения.

Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

Корни уравнений. Равносильность уравнений. Преобразование уравнений. Основные приемы решения уравнений. Решение систем уравнений.

Использование свойств и графиков функций для решения уравнений и неравенств.

1. Элементы комбинаторики

Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей.

Представление данных (таблицы, диаграммы, графики).

История развития комбинаторики, теории вероятностей и статистики и их роль в различных сферах человеческой жизнедеятельности. Правила комбинаторики. Решение комбинаторных задач. Размещения, сочетания и перестановки. Бином Ньютона и треугольник Паскаля. Прикладные задачи.

Классическое определение вероятности, свойства вероятностей, теорема о сумме вероятностей. Вычисление вероятностей. Прикладные задачи. Представление числовых данных. Прикладные задачи.

1. Прямые и плоскости в пространстве

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.

Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.

Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур.

1. Многогранники

Вершины, ребра, грани многогранника.

Призма. Прямая призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.

Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр. Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде.

Представление о правильных многогранниках (тетраэдре, кубе, октаэдре, додекаэдре и икосаэдре).

1. Тела и поверхности вращения

Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию.

Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере.

Объем и его измерение. Интегральная формула объема.

Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы.

Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.

1. Координаты и векторы

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы, плоскости и прямой.

Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

Признаки взаимного расположения прямых. Угол между прямыми. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Теоремы о взаимном расположении прямой и плоскости. Теорема о трех перпендикулярах.

Признаки и свойства параллельных и перпендикулярных плоскостей.

Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространстве.

Различные виды многогранников. Их изображения. Сечения, развертки многогранников. Площадь поверхности. Виды симметрий в пространстве. Симметрия тел вращения и многогранников. Вычисление площадей и объемов.

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Вариант№1.

Обязательная часть

№1.(1балл) Кружка стоит 180 рублей. Какое наибольшее число кружек можно купить на 900 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 35%?

№2. .(1балл) В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трёх городах России (по данным на начало 2010 года).

Определите, в каком из этих городов окажется самым дешёвым следующий набор продуктов: 3 кг картофеля, 1 кг сыра, 3 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).

№3. .(1балл) Определите, какие из перечисленных точек принадлежат графику функции у(Х) = 5+2х. А(-2;1) В(1;7) С(-1;8) Д(0;5)

№4. .(1балл) Вычислите значение выражения 4^5/2 + 8^2/3 - √16

№5. .(1балл) Найдите значение sin х, если известно, что cos x = ¼ и α Є 1 четверти.

№6. .(1балл) Решите уравнение 4^7+х = 16^3х

№ 7. .(1балл) Вычислите значение выражения log₂ 4 + log₄ 64 + 10^lg15 +log ₈₅1

№8. .(1балл) Решите уравнение log ₃ (2x – 3) = 2

№9. .(1балл) Определите, какой их ниже приведённых графиков соответствует чётной функции. Отметьте его знаком «+» и кратко поясните, почему.

Используя график функции у=f(x), определите и запишите ответ:

№10. .(1балл) Наименьшее и наибольшее значения функции

№11. .(1балл) Количество промежутков возрастания ( убывания.)

№12 .(1балл) при каких значениях х f(x)≤0.

№13. .(1балл)

№14. .(1балл) Тело движется по закону S(t) = x² -5x + 9. Определите, в какой момент времени скорость будет равна 2.

№15. .(1балл) Найдите область определения у = lg (x² +12x)

№16. .(1балл) Решите уравнение  = 3

№17. .(1балл) Решите уравнение cos²x + sinx = - sin² x

№18. .(1балл) Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если каждое его ребро увеличить в 10 раз?

Дополнительная часть.

№19. (3 балла) Найдите промежутки возрастания функции f(x) = 4x³ + 2,5x² – 3x.

№20. (3 балла) Шар, объём которого 32∏/3, вписан в конус. Найдите высоту конуса, если радиус его основания равен 2√3.

№21. (3 балла). Решите систему уравнений х – у = 1,

64^х – 56*8^у = 8.

№22 ( 3 балла) Найдите все решения уравнения cos2x + 3cosx = 1, удовлетворяющие условию sin x ≥ 0.

Вариант№2.

Обязательная часть

№1. .(1балл) Общая тетрадь стоит 49 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 500 рублей после повышения цены на 15%?

№2. .(1балл) Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интернет) предлагает три тарифных плана.

Пользователь предполагает, что его трафик составит 700 Мб в месяц, и исходя из этого выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 700 Мб?

№3. .(1балл) Определите, какие из перечисленных точек принадлежат графику функции у(Х) = 3х – 4. А(1;-1) В(1;7) С(-1;-7) Д(0;-4)

№4. .(1балл) Вычислите значение выражения 16^1/2 + 25^3/2 - √81

№5. .(1балл) Найдите значение sin х, если известно, что cos x = 2/3 и α Є 1 четверти.

№6. .(1балл) Решите уравнение 3^1+х = 9^2х

№7. .(1балл) Вычислите значение выражения log₂ 1 + log₈ 64 + 10^lg24 +log ₅125

№8. .(1балл) Решите уравнение log ₂ (5x -2) = 3

№9. .(1балл) Определите, какой их ниже приведённых графиков соответствует чётной функции. Отметьте его знаком «+» и кратко поясните, почему.

Используя график функции у=f(x), определите и запишите ответ:

№10. .(1балл) Наименьшее и наибольшее значения функции

№11. .(1балл) Количество промежутков убывания.(возрастания)

№12 .(1балл) при каких значениях х f(x)≥0.

№
13. (1балл).

№
14. .(1балл) Тело движется по закону S(t) = x² -8x -11. Определите, в какой момент времени скорость будет равна 4.

№15. .(1балл) Найдите область определения у = log₅ (x² -3x)

№16. .(1балл) Решите уравнение  = 9

№17. .(1балл) Решите уравнение cos²x + cosx = - sin² x

№18. .(1балл) Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите площадь его поверхности.

Дополнительная часть.

№19. (3 балла) Найдите промежутки возрастания функции f(x) = 8x³ + x² – 7x.

№20. (3 балла). В правильную четырёхугольную пирамиду вписан шар, объём которого 32∏/3. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 6.

№21. (3 балла). Решите систему уравнений х – у + 1 = 0,

9^у – 8*3^х = 1.

№22 ( 3 балла) Найдите все решения уравнения cos2x + 3 sin x = 1, удовлетворяющие условию cos x ≤ 0.

Вариант№3.

Обязательная часть

№1. .(1балл) Тетрадь стоит 30 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 150 рублей после понижения цены на 30%?

№2. .(1балл) Семья из трёх человек планирует поехать из Москвы в Чебоксары. Можно ехать поездом, а можно - на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 810 рублей. Автомобиль расходует 14 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 20,5 рубля за литр. Сколько рублей придётся заплатить за наиболее дешёвую поездку на троих?

№3. .(1балл) Определите, какие из перечисленных точек принадлежат графику функции у(Х) = 5х-1. А(2;9) В(2;7) С(-1;-6) Д(0;-1)

№4. .(1балл) Вычислите значение выражения 8^2/3 - √16 + 16^1/2

№5. .(1балл) Найдите значение cos x, если известно, что sin х = 4/5 и α Є 1 четверти.

№6. .(1балл) Решите уравнение 5^3-х = 125^х

№7. .(1балл) Вычислите значение выражения 10^lg15 +log₂ 8 + log₃ 81 +log ₅₇1

№8. .(1балл) Решите уравнение log ₄ (3x – 1) = 2

№9. .(1балл) Определите, какой их ниже приведённых графиков соответствует нечётной функции. Отметьте его знаком «+» и кратко поясните, почему.

Используя график функции у=f(x), определите и запишите ответ:

№10. .(1балл) Наименьшее и наибольшее значения функции

№11. .(1балл) Промежутки возрастания и убывания.

№12 .(1балл) при каких значениях х f(x) = 0.

№13. .(1балл) Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 12м от столба, на котором висит фонарь на высоте 5,4 м. Найдите длину (в метрах) тени человека.

№14. .(1балл) Тело движется по закону S(t) = x² -3x + 7. Определите, в какой момент времени скорость будет равна 3.

№15. .(1балл) Найдите область определения у = log₈ (x² +8x)

№16. .(1балл) Решите уравнение 

№17. .(1балл) Решите уравнение cos²x + = - sin² x- sinx

№18. .(1балл) Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 60.

Дополнительная часть.

№19. (3 балла) Найдите промежутки возрастания функции f(x) = 2x³ + 3x² – 7

№20. (3 балла). В конус с образующей 6√6 и высотой 12 вписан куб. Найдите объём куба.

№21. (3 балла). Решите систему уравнений у – х = 1,

4^у – 2*2^х = 2.

№22 ( 3 балла) Найдите все решения уравнения cos8x = cosx, удовлетворяющие условию sin x ≤ 0.

Вариант№4.

Обязательная часть

№1. .(1балл) Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 140 рублей за штуку и продаёт с наценкой 25%. Какое наибольшее число таких горшков можно будет купить в этом магазине на 700 рублей?

№2. .(1балл) Для изготовления книжных полок требуется заказать 24 одинаковых стекла в одной из трёх фирм. Площадь каждого стекла 0,15 м2. В таблице приведены цены на стекло, а также на резку стекла и шлифовку края. Сколько рублей будет стоить самый дешёвый заказ?

№3. Определите, какие из перечисленных точек принадлежат графику функции

у(Х) = 8- 4х. А(-2;16) В(1;4) С(-1;8) Д(0;8)

№4. .(1балл) Вычислите значение выражения 25^3/2 - √64 + 15⁰

№5. .(1балл) Найдите значение cos x, если известно, что sin х = 1/6 и α Є 1 четверти.

№6. .(1балл) Решите уравнение 6^6+х = 36⁵

№7. .(1балл) Вычислите значение выражения log₅ 25 + log₃ 81 + 10^lg36 +log ₈₇1

№8. .(1балл) Решите уравнение log ₅ (7x – 3) = 2

№9. .(1балл) Определите, какой их ниже приведённых графиков соответствует нечётной функции. Отметьте его знаком «+» и кратко поясните, почему.

Используя график функции у=f(x), определите и запишите ответ:

№10. .(1балл) Наименьшее и наибольшее значения функции

№
11. .(1балл) Промежутки возрастания и убывания.

№12 .(1балл) при каких значениях х f(x) ≥0.

№13.(1балл)^. Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна четырем шагам. На какой высоте (в метрах) висит фонарь.

№14. .(1балл) Тело движется по закону S(t) = x² -2x + 9. Определите, в какой момент времени скорость будет равна 8.

№15. .(1балл) Найдите область определения у = log₆ (x² – 6x)

№16. .(1балл) Решите уравнение  = 5

№17. .(1балл) Решите уравнение cos²x + = - sin² x+ cosx

№18. .(1балл) В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 63 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше диаметра первого?

Дополнительная часть.

№19. (3 балла) Найдите промежутки возрастания функции f(x) = 5x³ + 6x² – 3x.

№20. (3 балла). В конус с радиусом основания 4 и высотой 4√3 вписана треугольная призма, у которой все рёбра равны. Найдите объём призмы.

№21. (3 балла). Решите систему уравнений х – у = 2,

9^х – 18*3^у = 3.

№22. (3 балла). Найдите решение уравнения sin11x = sin x.

Алимов Ш. А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. — М., 2014.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10—11 классы. — М., 2014.

Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

Башмаков М. И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

Башмаков М. И. Математика. Электронный учеб.-метод. комплекс для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2015.

Башмаков М. И. Математика (базовый уровень). 10 класс. — М., 2014. Башмаков М. И. Математика (базовый уровень). 11 класс. — М., 2014. Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа, геометрия. 10 класс. — М., 2013.

Башмаков М. И. Математика (базовый уровень). 10 класс. Сборник задач: учеб. пособие. — М., 2008.

Башмаков М. И. Математика (базовый уровень). 11 класс. Сборник задач: учеб. пособие. — М., 2012.

Гусев В. А., Григорьев С. Г., Иволгина С. В. Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

Колягин Ю. М., Ткачева М. В, Федерова Н. Е. и др. Математика: алгебра и начала мате- матического анализа. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни). 10 класc / под ред. А. Б. Жижченко. — М., 2014.

Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федерова Н. Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни). 11 класс / под ред. А. Б. Жижченко. — М., 2014.