Построение сечений многогранников. 10 класс.

Правила построения сечений многогранников:

1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого

а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

Примеры построения сечений:

Пример 1.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Построим сечение, проходящее через точки M, N, L.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA₁D₁D.

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A₁D₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D. Получим точку X₁.

Точка X₁ лежит на ребре A₁D₁, а значит и плоскости A₁B₁C₁D₁, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X₁ N пересекается с ребром A₁B₁ в точке К.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA₁B₁B.

Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD₁C₁C:

пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D, получим точку X₂;

пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D₁C₁, они лежат в одной плоскости A₁B₁C₁D₁, получим точку X₃;

Точки X₂ и X₃ лежат в плоскости DD₁C₁C. Проведем прямую X₂ X₃ , которая пересечет ребро C₁C в точке T, а ребро DC в точке P. И соединим точки L и P, лежащие в плоскости ABCD.

MKNTPL - искомое сечение.

Пример 2.

Рассмотрим ту же самую задачу на построение сечения, но воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Это облегчит нам построение сечения.

.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA₁D₁D.

.

Через точку N, проведем прямую NT параллельную прямой ML. Прямые NT и ML лежат в параллельных плоскостях по свойству параллелепипеда.

.

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A₁D₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D. Получим точку X₁.

.

Точка X₁ лежит на ребре A₁D₁, а значит и плоскости A₁B₁C₁D₁, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X₁ N пересекается с ребром A₁B₁ в точке К.

.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA₁B₁B.

.

Проведем прямую TP через точку T, параллельно прямой KM ( они лежат в параллельных плоскостях).

.

Соединим точки P и L ( они лежат в одной плоскости).

.

MKNTPL - искомое сечение.

Методы построения сечений

Метод следов

В общем случае плоскость сечения имеет общую прямую с плоскостью каждой грани многогранника. Прямую, по которой секущая плоскость пересекает какую-либо грань, называют следом секущей плоскости.

Метод внутреннего проектирования

Этот метод удобен при построении сечений в тех случаях, когда почему-либо неудобно находить след секущей плоскости, например, след получается очень далеко от заданной фигуры.

Комбинированный метод

При построении этим методом на каких-то этапах применяются приёмы, изложенные в методе следов или методе внутреннего проектирования, а на других этапах применяются теоремы, изученные в разделе «Параллельность прямых и плоскостей».

Метод следов

Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры F. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры F. 

Пусть М, N, К - точки секущей плоскости, М₁, N₁, К₁ - их проекции на плоскость основания. При этом для призм и цилиндров ММ₁ || NN₁, NN1 || КК₁, для конусов и пирамид ММ₁∩ NN₁ ∩ КК₁= S (S- вершина). Удобнее обозначать вершины нижнего основания через А₁, В₁, С₁,... верхнего основания - А, В, С,.... Кратко суть метода следов можно записать следующим образом.

1. МN ∩ М₁N₁=X

2. МК ∩ М₁К₁=У

3. ХУ= S - след секущей плоскости

4. A₁M₁  ∩ S = A₀   возможно  

5. АоМ ∩ А₁А == А

6. Пункты 4-5 повторить для вершин В1, С1,... нижнего основания фигуры F;

7.  - искомое сечение.

Строить сечение фигуры F секущей плоскостью α методом следов удобно в тех случаях, когда секущая плоскость задана тремя точками, ей принадлежащими, или прямой и не принадлежащей ей точкой, или двумя пересекающимися прямыми, или двумя параллельными прямыми. Во всех случаях легко взять три точки М, N, К, принадлежащие плоскости α, и решение проводить по указанной схеме.

Задача 1. Постройте сечение призмы A₁B₁C₁D₁ABCD плоскостью, проходящей через три точки M, N, K. Рассмотрите все случаи расположения точек M, N, K на поверхности призмы (рис. 13).

Рассмотрим случай: В данном случае очевидно, что M₁ = B₁.

Построение.

1. 
   2. 
   3. XY = s – след секущей плоскости.
   4. 
   5. 
   6. 
   7. 
   8.  – искомое сечение.

Задача 2. Постройте сечение пирамиды SABCDE плоскостью, проходящей через точку  и прямую l, лежащую в грани SED (рис. 14).

Построение.

1. 
2. 
3.  – след секущей плоскости.
4. 
5. 
6.  – искомое сечение.

Задача 3.  Точки P, Q и R взяты на поверхности параллепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ следующим образом: точка P лежит в грани CC₁D₁D, точка Q - в грани AA₁D₁D, точка R на прямой BB₁. Построить сечение параллелепипеда плоскостью (PQR).

Метод внутреннего проектирования.

Задача 4.  Точки P, Q и R взяты на поверхности параллепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ следующим образом: точка P лежит на грани CC₁D₁D, точка Q - на ребре B₁C₁, а точка R - на ребре AA₁. Построить сечение параллелепипеда плоскостью (PQR).

Комбинированный метод.

Задача 5.  На рёбрах A₁B₁ и DD₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взяты соответственно точки P и S, а в гранях DD₁C₁C и AA₁D₁D соответственно точки Q и R. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку S параллельно плоскости PQR.