Решение стереометрической задачи

Презентация

на тему:

«Решение стереометрической задачи»

Выполнила:

Ахметдинова Виктория

Задача №14

(ЕГЭ-2016, С.43)

В прямоугольном параллелепипеде

известны длины ребер

. Точка К – середина ребра .

• Докажите, что плоскость, проходящей через точку В перпендикулярно прямой АК, пересекает отрезок .

2. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью АВС .

Дано: ,

I Этап. Анализ условия задачи

Требуется:

• Какая геометрическая фигура рассматривается в задаче?

Доказать:

2. Выполните построение прямоугольного параллелепипеда.

пересекает отрезок .

3. Что известно по условию задачи?

4. Что требуется доказать в задаче?

5. Что требуется найти?

Найти: tg β, где β – угол между α и ( АВС )

С 1

D 1

K

P

А 1

В 1

7

D

C

6

A

B

16

II Этап. Поиск способа решения (1)

1. В стереометрии часто помогает плоскость. Какую плоскость, содержащую прямую АК, можно рассмотреть?

5. Как только появляется фигура, выясняют ее взаимное расположение с другими фигурами. Как построенная плоскость расположена в параллелепипеде?

(Построенная плоскость перпендикулярна основанию параллелепипеда)

6. Какую плоскость требуется построить по условию задачи?

7. Как построить плоскость, проходящую через заданную точку перпендикулярно данной прямой, если точка и прямая расположены в перпендикулярных плоскостях.

8. Что требуется доказать в задаче?

9.Когда требуется доказать, что плоскость пересекает некоторый отрезок, то при построении плоскости выясняется расположение всех возникающих точек.

Определите способ нахождения расположения точки Q, точки О, точки Р.

Дано: ,

Требуется:

Доказать:

пересекает отрезок .

Найти: tg β, где β – угол между α и ( АВС )

С 1

D 1

K

К

Р

А 1

К 1

D

8

P

C

1

О

Q

А 1

6

В 1

О 1

2

В

О

А

16

К 1

А

7

Q

D

 ADK 1   AQB

 AОQ   AKK 1

C

Можно найти АQ

6

Можно найти АО

Q

A

Если АО 1 1

16

B

Дано: ,

К

Р

А 1

К 1

D

8

C

О

Q

6

О 1

В

А

16

К 1

А

Q

Требуется:

Доказать:

пересекает отрезок .

 ADK 1   AQB

 AОQ   AKK 1

Можно найти АQ

Можно найти АО

Если АО 1 1

Найти: tg β, где β – угол между α и ( АВС )

III Этап. Оформление решения (1)

1. АК  (АА 1 К); ВQ  АК 1 (тогда ВQ  АК) и QР  АК, тогда АК  (ВPQ) (По признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

2. Докажем, что (ВРQ) пересекает отрезок А 1 К.

а) Найдем положение точки Q. (BQ PQ)

б) Найдем положение точки О. (AK PQ)

в) Найдем положение точки Р. (PQ А 1 К )

С 1

D 1

K

P

А 1

В 1

О

7

D

C

6

Q

A

B

16

Дано: ,

II Этап. Поиск способа решения (2)

1. Что нужно найти в задаче?

2. Чем определяется угол между плоскостями?

(Двумя перпендикулярами к этим плоскостям)

3. Угол между какими плоскостями нужно найти?

(Угол между (АВС ) и ( BPQ ))

4. Какие перпендикуляры определяют данные плоскости?

(BQ и PQ)

5. Чем могут являться данные перпендикуляры?

(Данные перпендикуляры могут являться нормалями к каждой из плоскостей)

6. На какой метод выходим?

(На координатный метод)

7. В чем суть данного метода?

(1. Поместить фигуру в прямоугольную систему координат. 2. Найти координаты нормалей к каждой из двух плоскостей. 3. Найти угол между нормалями)

8. Как выбрать систему координат на данном чертеже?

(Удобно будет за начало координат взять точку В . Тогда ось BY будет располагаться на ребре ВА. Ось ВХ – на ребре ВС . Ось ВZ – на ребре ВВ 1 )

9. Какими векторами выражаются нормали в данном случае?

(Нормаль BQ выражается вектором ВВ 1, нормаль PQ - АК )

10. Как найти данные векторы?

(Найдем координаты вектора ВВ 1 : {0,0,7} . Координаты вектора АК: {6,-8,7} )

11. Что нужно знать для нахождения тангенса угла?

(Нужно знать синус и косинус)

12. Какой формулой связан угол между векторами с косинусом угла?

Требуется:

Доказать:

пересекает отрезок .

Найти: tg β, где β – угол между α и ( АВС )

Z

С 1

D 1

K

P

А 1

В 1

О

X

7

D

C

6

Q

Y

A

B

16

III Этап. Оформление решения (2)

1. АК (АА 1 К) и АК (ВPQ) (По признаку перпендикулярности двух плоскостей)

( АА 1 К ) ( ВPQ ), А 1 К ( АА 1 К )

(BPQ) А 1 К

• а) Найти перпендикулярные векторы (BQ и PQ)

b) Найти координаты данных векторов ( )

с) Найти косинус искомого угла ( )

d) Выразить синус через косинус ( )

е) Найти тангенс ( )