Решение редуцированной задачи о движении тяжёлого гиростата

Илюхин Александр Алексеевич

доктор физико-математических наук, профессор

Клюева Марина Алексеевна

магистрант ТИ им.А.П. Чехова (филиал РГЭУ «РИНХ»)

г.Таганрог

УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОМЕРНЫХ ВРАЩЕНИЙ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСТАТА

За последние годы наблюдается бурное развитие теории устойчивости, вызванное потребностями развивающейся техники, в частности, теории автоматического регулирования и управления. Так же теорию устойчивости применяют и вдругих сферах деятельности , таких как экономика, медицина и другие. Например, проблема устойчивости функционирования предприятия как первичного звена экономики непосредственно связана с эффективностью производства, устойчивостью экономического роста. Новые усовершенствования в различных областях математики являются движущей силой развития теории устойчивости решений дифференциальных уравнений.

Одним из основных вопросов этой теории является вопрос об устойчивости решения. Здесь важнейшим является выяснение взаимного поведения отдельных решений, незначительно отличающихся начальными условиями, то есть будут ли малые изменения начальных условий вызывать малые же изменения решений. Этот вопрос был подробно исследован А. М. Ляпуновым. Устойчивость равномерных вращений абсолютно твердого тела, имеющего неподвижную точку, по Ляпунову и при постоянно действующих возмущениях относится к критическому случаю двух пар чисто мнимых корней и двукратного нулевого корня.

Истории развития понятия устойчивости посвящена первая глава. В связи с тем, что развитие происходило не в одном направлении, а в нескольких, они достаточно сильно отличаются друг от друга.

Целью дипломной работы являлось изучение различных вариантов теории устойчивости решения дифференциальных уравнений; сопоставительный анализ особенностей каждого их этих направлений и возможности их практического применения для задач механики и других естественных наук. А для ответа на последний вопрос необходимо было рассмотреть конкретные примеры.

Равномерные вращения абсолютно твёрдого тела, имеющего неподвижную точку, вокруг вертикали представляют один из наиболее хорошо изученных и важных классов стационарных движений. Оси, вокруг которых возможны равномерные вращения, образуют в теле конус Штауде. Откладывая вдоль каждой образующей величину угловой скорости, с которой происходит вокруг этой образующей равномерное вращение, получаем направляющую линию. Если центр масс тела находится на главной оси, то одна из ветвей направляющей линии совпадает с ней, и, следовательно, тело может вращаться вокруг этой оси с любой угловой скоростью. Исследуем устойчивость таких движений относительно проекции угловой скорости и единичного вектора направления силы тяжести на подвижные оси.

С целью применения к исследованию устойчивости данных стационарных движений теорем об устойчивости стационарных движений гамильтоновых систем опишем движение тела уравнениями Гамильтона, принимая за обобщенные координаты углы Эйлера, вводимые обычным путем. Для того чтобы на изучаемом движении гамильтониан не имел особенностей, центр масс помещаем на первую главную ось. Направляя оси связанной с телом системы координат по главным осям эллипсоида инерции, получаем выражение для гамильтониана

Здесь - компоненты тензора инерции относительно неподвижной точки, Г- произведение веса тела проекции вектора центра масс на первую ось; - углы Эйлера ( отсчитывается от идущей вниз вертикали); ,,- соответствующие обобщенные импульсы.

Уравнения движения имеют вид

Изучаемым стационарным движениям соответствует следующее решение системы уравнений :

где - величина угловой скорости равномерного вращения твёрдого тела.

Представим функцию Гамильтона в виде

с точностью до членов пятого порядка, относительно канонических переменных

где

Характеристическое уравнение линеаризованной системы с функцией Н₂ имеет вид

где

Необходимые условия устойчивости приведены в таблице, в которой

Таким образом, если параметры связаны неравенствами, указанными в таблице, характеристическое уравнение имеет две пары чисто мнимых корней, и поскольку система гамильтонова, задача об устойчивости не решается рассмотрением конечного числа членов в разложениях правых частей уравнений движений с функцией Гамильтона

Замечание. В.В. Румянцев, используя метод Четаева построения функции Ляпунова в виде связки интегралов уравнений возмущенного движения, указал достаточные условия устойчивости изучаемых равномерных вращений, которые оказываются эквивалентными условиями знакоопределенности Н₂, вследствие чего остается открытый вопрос о поведении решения

в следующих случаях:

; ;

а также в областях С_4, С₅ в которых выполнены необходимые условия устойчивости, но функция Н₂ является знакопеременной.

При достаточно малых значениях ( а их можно cделать достаточно малыми за счёт начальных возмущений) в шаре имеем

причем , где

Из вышеприведённого неравенства следует, что при достаточно малых конец вектора угловой скорости находится в замкнутой ограниченной области, принадлежащей шару и содержит точку С .

Список использованной литературы:

Демидович Б.П., Лекции по математической теории устойчивости, М.: Наука, 1967г.

И.А.Герасимов, Б.Р. Мушаилов. Небесная механика ( Общийкурс).— 2007. 550с .С. 130-133.

Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, М.- Л., 1950.

Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения , (1976)

Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки. 1987. С. 127-131.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т. II. - М.: ФМЛ, 1970.- 800 с.