Свойства числовых неравенств

Свойства числовых неравенств 9 класс

b  и  b c , то   a c . Проверим на примере. Пусть  a =6 ,  b =0 ,  c =−4 , тогда, если  60  и  0−4 , то  6−4 .   " width="640"

Свойство 1. Если  a b  и  b c , то   a c .

Проверим на примере.

Пусть  a =6 ,  b =0 ,  c =−4 , тогда, если  60  и  0−4 , то  6−4 .

b , то   a + c b + c . Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Пример: 18 5, 18+4 5+4 22 9 18 5, 18+ (-2) 5+(-2) 16 3 " width="640"

Свойство 2.

Если  a b , то   a + c b + c .

Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.

Пример: 18 5, 18+4 5+4

22 9 18 5, 18+ (-2) 5+(-2)

16 3

b  и  k 0 , то  ak bk . Если обе части неравенства умножить на одно и то же  положительное  число, то знак неравенства не изменится. Пример: известно, что 17,2 При умножении двойного неравенства на положительное число 2 получим неравенство того же смысла (т. е. знаки не изменятся). 17,2⋅2 34,4 " width="640"

Свойство 3. Если  a b  и  k 0 , то  ak bk .

Если обе части неравенства умножить на одно и то же  положительное  число, то знак неравенства не изменится.

Пример:

известно, что 17,2

При умножении двойного неравенства на положительное число 2 получим неравенство того же смысла (т. е. знаки не изменятся).

17,2⋅2

34,4

b и k Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число , то знак неравенства изменится ( , на Пример: известно, что 17,2 При умножении двойного неравенства на отрицательное число −2 получим неравенство противоположного смысла (т. е. знаки изменятся). 17,2⋅(−2) x⋅(−2) 17,3⋅(−2); − 34,4 −2x −34,6; − 34,6 " width="640"

Свойство 4. Если ab и k

Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число , то знак неравенства

изменится ( , на

Пример:

известно, что 17,2

При умножении двойного неравенства на отрицательное число −2 получим неравенство противоположного смысла (т. е. знаки изменятся).

17,2⋅(−2) x⋅(−2) 17,3⋅(−2);

− 34,4 −2x −34,6;

− 34,6

b и ab 0, то   Поделим обе части на ab, то получится или " width="640"

Если а b и ab 0, то

 

Поделим обе части на ab,

то получится

или

b и cd , то a+cb+d . Неравенства одного смысла можно складывать. " width="640"

Обрати внимание!

 

Деление на число k можно заменить умножением на дробь .

Свойство 5 :

Если ab и cd , то a+cb+d .

Неравенства одного смысла можно складывать.

Пример:

1. известно, что 1,2

Найти x+y.

При сложении двойных неравенств одинакового смысла

получим неравенство того же смысла

(т. е. знаки не изменятся).

1,2

17

18,2

y⋅(−1) 18⋅(−1); − 17 −y −18; − 18 Сложим первое неравенство с полученным. 1,2 − 18 − 16,8 " width="640"

2. Известно, что 1,2

Найти x−y.

Умножив все части двойного неравенства

17

17

17⋅(−1) y⋅(−1) 18⋅(−1);

− 17 −y −18;

− 18

Сложим первое неравенство с полученным.

1,2

− 18

− 16,8

b , cd , то ac bd . При умножении неравенств одного смысла, у которых левые и правые части — положительные числа, получается неравенство того же смысла. Пример: 1. известно, что x Найти xy . Перемножив неравенства, получим неравенство того же смысла. x x⋅y х y " width="640"

Свойство 6 :

Если a,b,c,d — положительные числа и

ab , cd , то ac bd .

При умножении неравенств одного смысла, у которых левые и правые части — положительные числа, получается неравенство того же смысла.

Пример:

1. известно, что x

Найти xy .

Перемножив неравенства, получим неравенство

того же смысла.

x

x⋅y

х y

2. Известно, что 1,2

Найти xy.

При умножении двойных неравенств одинакового смысла получим неравенство того же смысла

(т. е. знаки не изменятся ).

1,2

1,2⋅2

2,4

11. Значит, " width="640"

Свойство 7 :

Если a и b — неотрицательные числа и a

Если обе части неравенства — неотрицательные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, при этом получается неравенство того же смысла .

Пример:

 

1. сравнить числа и .

Возведём в квадрат числа.

( = 13 ; ( = 11 ; 13 11.

Значит,

 

Пример:

Оценить площадь квадрата со стороной a

(в см), где 1,1

Площадь квадрата со стороной a вычисляется по формуле S =

Возведём в квадрат все части неравенства

1,1

1,21

1,21

Получили, что площадь квадрата

больше 1,21 см, но меньше 1,44 см .