Метод замены множителей является одним из достаточно эффективных и практичных методов решения алгебраических неравенств, основывающийся на таких понятиях как равносильность, рационализация, алгебраизация.
Основная идея метода.
Методом замены множителей решаются неравенства, приводимые к виду
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4632.gif)
Где символ "
" обозначает один из четырех возможных знаков неравенства:
.
При решении неравенства (1) нас интересует только знак любого множителя в числителе или знаменателе, а не абсолютная его величина. Поэтому, если по каким-то причинам нам неудобно работать с данным множителем, мы можем заменить его на другой знакосовпадающий с ним в области определения неравенства и имеющий в этой области те же корни.
Это и определяет основную идею метода замены множителей. Важно зафиксировать тот факт, что замена множителей осуществляется только при условии приведения неравенства к виду (1), то есть, когда требуется сравнить произведение с нулем.
Основная часть замены обусловлена двумя следующими равносильными утверждениями.
Утверждение 1. Функция
есть строго возрастающая тогда и только тогда, когда для любых значений
из области определения функции разность
совпадает по знаку с разностью
, то есть
, (
означает знакосовпадение)
Утверждение 2. Функция
есть строго убывающая тогда и только тогда, когда для любых значений
из области определения функции разность
совпадает по знаку с разностью
, то есть ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4644.gif)
Обоснование этих утверждений непосредственно следует из определения строго монотонной функции. Согласно этим утверждениям можно установить, что
Разность степеней по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности показателей этих степеней на отклонение основания от единицы, то есть
.
Разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности чисел этих логарифмов на отклонение основания от единицы, то есть
.
Тот факт, что разность неотрицательных величин совпадает по знаку с разностью квадратов этих величин, позволяет осуществить следующие замены:
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4649.gif)
Замена знакопостоянных множителей - это есть один из случаев замены не вытекающих из утверждений 1 и 2. Всюду положительные множители заменяем на 1 или просто убираем, всюду отрицательные заменяем на (
1). Популярный знакопостоянный множитель квадратный трехчлен a
+ b x + c
с отрицательным дискриминантом можно заменить на старший коэффициент или на свободный член, то есть a
+ bx + c
.
Так как область значений показательной функции y =
представляет собой все положительные числа, то любая сумма значений показательных функций является знокопостоянной положительной величиной, поэтому
.
Положительной величиной является сумма неотрицательных слагаемых, если ни в одной точке области определения неравенства все слагаемые одновременно не равны нулю. Очевидно, что при объявленном ограничении на слагаемые сумма всегда является положительной величиной. Поэтому в силу определения арифметического корня и неотрицательности модуля любого числа получаем право на следующие замены:
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4658.gif)
.
Наиболее часто используемые замены (без учета О Д З).
а) Замена знакопостоянных множителей.
1) ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4661.gif)
2)![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4662.gif)
3)![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4663.gif)
4)![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4664.gif)
5)![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4665.gif)
6)![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4666.gif)
7)![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4667.gif)
8)![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4668.gif)
9)![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4669.gif)
10) ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4670.gif)
11) ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4671.gif)
б) Замена незнакопостоянных множителей с модулем.
12)![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4672.gif)
13) ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4673.gif)
14) ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4674.gif)
15) ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4675.gif)
16)
, ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4677.gif)
17)
.
18)
.
19)
.
20) ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4683.gif)
21)
.
22)
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4686.gif)
23) ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4687.gif)
24) ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4688.gif)
в) Замена незнакопостоянных множителей с показательными и логарифмическими выражениями.
25)
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4690.gif)
26)
, ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4692.gif)
27) ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4693.gif)
28) ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4694.gif)
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4695.gif)
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4696.gif)
31![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/521767/Image4697.gif)
32)
.
33)
.