Математика. Свойства корня n-й степени. Доказательство.

Корень n-й степени

Обозначение 

Корнем n-й степени из числа а называется такое число b, n-я степень которого равна а, то есть

Если n - нечетное число, то существует единственный корень n-й степени из любого числа (положительного или отрицательного). Например, 

Если n - четное число, то существует два корня n-й степени из любого положительного числа. Например, корень четвертой степени из числа 625 - это числа -5 и 5. Так как 

Корень четной степени из отрицательного числа не существует. Например, 

Арифметический корень n-й степени

Это то же самое, что и корень n-й степени, но разница в том, что арифметический корень из неотрицательного числа есть неотрицательное число!

То есть, если n - четное число, то существует один положительный корень n-й степени из любого положительного числа.

Свойства арифметического корня

Внимание! Степень корня - это натуральное число, большее 1.

, 

, 

Свойства корня n-ой степени:

1. 

2. 

3. 

4. 

5.

Частные случаи:

1. Если показатель корня целое нечетное число (), то подкоренное выражение может быть отрицательным.

В  случае нечетного показателя уравнение  при любом действительном значении  и целом   ВСЕГДА имеет единственный корень:

,

Для корня нечетной степени справедливо тождество:

,

2. Если показатель корня целое четное число (), то подкоренное выражение  не может быть отрицательным.

В  случае четного показателя уравнение имеет

при  единственный корнь 

и, если , два корня:

 и  

Для корня четной степени справедливо тождество:

Внимание! Для корня четной степени справедливы равенства: