Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств.

МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ

при решении логарифмических и показательных неравенств

При решении неравенств методом интервалов вычисление значений функции в промежуточных точках может вызвать трудности вычислительного характера. С другой стороны, для рациональных функций такие вычисления несколько проще.

Чтобы расширить возможности применения метода интервалов при решении неравенств, используется метод рационализации неравенств, известный в математической литературе под другими названиями: метод декомпозиции; метод замены множителей.

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения на более простое выражение , при которой неравенство равносильно неравенству в области определения выражения . В этом случае говорят, что выражение является рационализацией (или рационализирующим выражением) для выражения . Этот метод позволяет довольно сильно упростить решение и вычисления. Здесь символ заменяет один из знаков .

• Рассмотрим метод рационализации для решения показательных неравенств вида

Если бы мы решали данное неравенство классическим способом, то оно было бы равносильно совокупности:

По методу рационализации данное неравенство равносильно системе:

Покажем, что решения совокупности и системы совпадают.

Решение совокупности и системы полностью совпадают.

Приведём примеры решения показательных неравенств.

1. Решить неравенство

Используя метод рационализации, получаем систему неравенств:

Так как при любом значении , то дробь , если

. Решая второе неравенство методом интервалов, находим:

. Значит,

Ответ:

2. Решить неравенство

Преобразуем неравенство и применим метод рационализации:

Решая последнее неравенство методом интервалов, находим:

Ответ:

3. Решить неравенство

Преобразуем неравенство и применим метод рационализации:

4. Решить неравенство

Преобразуем неравенство и применим метод рационализации:

Ответ:

• Рассмотрим метод рационализации для решения логарифмических неравенств вида

Заметим, что этот метод используется при решении неравенств с переменным основанием логарифма и позволяет решать неравенства такого вида без перехода к равносильной совокупности систем, решение которой является достаточно трудоёмким и требующим большого количества времени.

Если бы мы решали данное неравенство классическим способом, то оно было бы равносильно совокупности:

По методу рационализации данное неравенство равносильно системе:

Покажем, что решения совокупности и системы совпадают.

Решение совокупности и решение системы полностью совпадают.  

Приведём примеры решения логарифмических неравенств.

1. Решить неравенство

Преобразуем неравенство и применим метод рационализации.

Ответ:

2. Решить неравенство

Применим метод рационализации.

Ответ:

3. Решить неравенство

Применим метод рационализации.

Ответ:

4. Решить неравенство

Применим метод рационализации.

Ответ:

Если — многочлены, то метод рационализации позволяет перейти от показательного или логарифмического неравенства к рациональному, которое уже легко решается методом интервалов.  

Если – выражения с переменными, причём ; числа – фиксированные, , то выражения и имеют одинаковые знаки.

При использовании метода рационализации, удобно помнить алгоритм.

Алгоритм метода рационализации.

1. Выписать условия, задающие ОДЗ исходного неравенства.

2. Привести исходное неравенство к стандартному виду.

3. Указать область допустимых значений для получившегося неравенства.

4. Заменить все выражения на рациональные (используя таблицу перехода к рациональным выражениям).

5. Решить полученное неравенство (как правило, методом интервалов).

6. Записать ответ полученного неравенства.

3