Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств
Из опыта работы учителя математики, физики МОУ «Сольвычегодская СОШ» Ноговицыной Валентины Валериевны |
Решение неравенств методом интервалов достаточно часто приводит к затруднению при вычислении значения функции в промежуточных точках. Чтобы расширить возможности применения метода интервалов, рассмотрим метод рационализации.
Метод рационализации заключается в замене сложного выражения
на более простое выражение
, при которой неравенство
равносильно неравенству
в области определения выражения.
Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G, где
- выражения от переменной х
, а – фиксированное число
.
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2017/01/22/s_5884fd13a92b1/536228_8.png) | Некоторые следствия (с учетом ОДЗ неравенства)
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2017/01/22/s_5884fd13a92b1/536228_9.png) ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2017/01/22/s_5884fd13a92b1/536228_9.png) |
Рассмотрим примеры сведения логарифмических и показательных неравенств, у которых основание, выражение под знаком логарифма, степень – многочлены. Оказывается, такие неравенства эффективно сводятся к дробно-рациональным или рациональным, причём, полученные решения будут более компактными по сравнению с традиционными.
Сведение логарифмического неравенства к системе рациональных неравенств
Рассмотрим логарифмическое неравенство вида
, (1)
где
- некоторые функции (об их природе будем говорить ниже).
Стандартный метод решения такого неравенства предполагает разбор двух случаев на области допустимых значений неравенства:
если
, то
; 2. если
, то
.
Рассмотрев два случая, необходимо объединить ответы. Правда, при рассмотрении второго случая возникает определенный дискомфорт – приходится на 90 процентов повторять выкладки из первого случая (преобразовывать, находить корни вспомогательных уравнений, определять промежутки монотонности знака). Возникает естественный вопрос – можно ли все это как-нибудь рационализировать объединить?
Ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме.
Теорема 1. Логарифмическое неравенство ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2017/01/22/s_5884fd13a92b1/536228_11.png)
равносильно следующей системе неравенств:
(2)
Доказательство. Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают множество допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство. Если
, то первый множитель этого неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство
. Если же
, то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство
. Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего метода. Терема доказана
Пример 1. Решить неравенство
.
Решение. Воспользуемся теоремой 1. Получим следующую систему неравенств:
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2017/01/22/s_5884fd13a92b1/536228_24.png)
Решая первые четыре неравенства, находим ОДЗ исходного неравенства:
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2017/01/22/s_5884fd13a92b1/536228_25.png)
Откуда:
.
Решим теперь пятое неравенство системы:
.
.
.
С учетом найденного ранее ОДЗ, получаем окончательный ответ.
Ответ:
.
Сведение показательного неравенства к системе рациональных неравенств
Рассмотрим показательное неравенство вида
(3)
где
- некоторые функции.
Традиционное решение такого неравенства приводит к двум случаям:
1. если
, то
; 2.если
, то
.
Как и в случае с логарифмическим неравенством, имеется возможность значительно укоротить решение задачи, используя метод рационализации. Этот метод основан на следующей теореме.
Теорема 2. Показательное неравенство
![](data:image/png;base64,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)
равносильно следующей системе неравенств:
(4)
Нетрудно заметить, что система (4) аналогична системе (2) из теоремы 1 (правда, в ней нет требования положительности степеней).
Пример 2. Решить неравенство
.
Решение. Составим систему неравенств, аналогичную системе (4) из теоремы 2:
Решив два первых неравенства, найдем ОДЗ исходного показательного неравенства:
![](data:image/png;base64,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)
Откуда ОДЗ:
.
Далее рассмотрим основное неравенство
, которое приводится к виду:
.
Корни первого множителя этого неравенства мы нашли ранее:
. Корни второго множителя равны:
,
,
.
Так как
, то
. Применив метод интервалов, получим следующее решение основного неравенства:
.
Учитывая найденную ранее ОДЗ, получаем окончательный ответ:
.
Пимер 3. Решить систему неравенств
Решение: Рассмотрим решение каждого неравенства отдельно:
(2): введем замену ![](data:image/png;base64,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)
- система несовместна, т.к. по первому неравенству ![](data:image/png;base64,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)
Выберем решение системы
, т.к.
.
Ответ:
.
Задания для самостоятельного решения.
1.![](data:image/png;base64,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)
2.![](data:image/png;base64,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)
3.![](data:image/png;base64,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)
4.![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAFsAAAAPCAIAAAAESyQvAAADRElEQVR4nO2XTUhqQRiGL6XRj2EJlSVh3mhREHap1CBEkExaBG6KJKiICKJF1CKKVi0EV0G7FkERgUSbICGV2iT0Q1TgzoqIIJWilEiitO57HO9BzrHbZMm9i97FYc6cb+Z7zjvfzFHB6+vrj28lSPCvAf47pcWRh4eHjY2NioqK+vr6dMyfVqXFkby8vJ8xpWPyL1E0Gs3MzEz6KF01srOzk5WVJRaLz8/PFQoFOkOh0ObmZllZmUaj4Q85PT3d3d3t7u7mP7q7uyssLPwqNq/Xu7a21tPTU1xcnDQg7sje3h5Yy8vLaSZ9fn6en5/f2tqSyWQzMzMXFxeXl5fNzc1ut/vm5qatrQ01MjQ0dH9/73A4Dg4OzGYzTIE74XA4NzeXDdve3o5EIiUlJVguAJydnXESYezKykpDQ0NHR8cnOUdGRggkjMjPzweAx+Mh2evq6lgkrCLjCBbn+PhYrVbTpIFub28HBwfb29t1Oh0ckcvldrsdr4rprq+vcSVhSNza2ooGqZFgMFhdXZ2Tk/P4+EjC9Ho9O2dtbe3i4iJ7C7NWV1cbGxstFotAEF+2T3ICUiQSwf2mpiYUXU1NDQl7eXlJJGeSTU5OsjSo7d7eXkwERwcGBpJmgq9XV1ejo6Ozs7OkB5QTExOoCJVKxQkmpkAFBQXsQcsPg1DJbBubCEYolUrWjkROGkg+JyDHx8cByQnLyMhQxURumXyHh4dSqZTco7ZNJhPKdWpqivSUlpYGAgHSBuLR0REaRUVFBoNhbGzMaDTitqqqCkPeIktBfX19T09PS0tLsKCzsxPFkshJCcnhpIRkHMHqYRdhUtIlFAr9fj8b4fP5+MMQA6bp6en4LAIBCjKld39TqOH+/n6UNHYK6UnkpIHkcFJCMo7Av5OTE2TCqb68vNzV1YXr/v5+0tqGsAI2m62ysnJhYYH0YDiWgv5t31VLSws+TKSN48blcrGc2dnZNJB8TkpIxhGr1To3N6fVanHeDA8Po2d9ff0vY37FlNjjdDpxBL6bjF7EAo5YThpIPiclJOMItiX2LT6i+Gp8DDwmHG8ob4lEksLYD+kznPSQ8ZMcJ9CHAf+I8tfBlyhlTnrI7396XP0GzQimxVCbfOoAAAAASUVORK5CYII=)
5.![](data:image/png;base64,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)
6.![](data:image/png;base64,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)
Используемая литература:
1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 11 кл. общеобразовательных учреждений /[С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин ] – 5-ое изд. – М.: Просвещение, ОАО «Московские учебники»,2006.
2. А.Г. Корянов, А.А. Прокофьев. Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников»: лекции 1-4. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2012.
3. Колесникова, С.И. Математика. Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ. Айриспресс 2014г.