Методическая разработка занятия по математике по теме «Векторы в пространстве. Действия над векторами»

Занятие 111. «Векторы в пространстве. Действия над векторами»

План занятия:

1. Понятие вектора.

2. Координаты точки в пространстве.

3. Построение точки в пространстве.

1. Понятие вектора.

Вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом.

Любая точка пространства рассматривается как нулевой вектор.

2. Координаты точки и вектора в пространстве.

Любая точка М(x; y; z) в пространстве имеет 3 координаты: х-абсцисса, у-ордината, z-аппликата.

Любой вектор ={х; у; z} или { х₂ – х₁, у₂ – у₁, z₂ – z₁} в пространстве также имеет 3 координаты:

х - абсцисса, у- ордината, z- аппликата.

Радиус-вектором называют вектор, проведённый из начала координат в произвольную точку пространства. Радиус-вектор имеет координаты точки, в которую он проведён.

= ={х; у; z}

Координаты вектора выражаются через координаты его начала А (х₁; у₁; z₁) и конца В(х₂; у₂; z₂):

{ х₂ – х₁, у₂ – у₁, z₂ – z₁}.

Правило. Для определения координат вектора АВ нужно от координат конца вектора вычесть координаты начала.

Координаты равных векторов равны.

Длина вектора (модуль вектора) (х; у; z) вычисляется по формуле:

3. Действия с векторами в координатной форме:

Правило. Суммой (разностью) векторов (х₁; у₁; z₁) и (х₂; у₂; z₂) называется вектор = , координаты которого равны сумме (разности) соответствующих координат этих векторов:

(х₁ х₂; у₁ у₂; z₁ z₂).

Правило. Произведением вектора (х; у; z) на число k называется вектор

=k , координаты которого равны произведению числа k на координаты вектора :

=(kх; kу; kz).

П равило. Построение радиус-вектора в пространстве

Для построения радиус-вектора в пространстве необходимо:

1) Построить прямоугольную систему координат в пространстве Охуz.

2) Отложить первые две координаты конца вектора на соответствующих осях и провести их проекции;

3) Выполнить параллельный перенос третьей координаты в точку пересечения проекций;

4) Соединить полученную точку с началом координат и обозначить искомый вектор.

Правило. Построение вектора MN в пространстве

Для построения вектора MN в пространстве необходимо:

1) Построить прямоугольную систему координат в пространстве Охуz.

2) По правилу построить 2 точки - точку начала вектора M(-2;0;3) и точку конца N(2;1; -2).

3) Соединить полученные точки и обозначить искомый вектор.

Задание для самостоятельного выполнения

Задание 1. Сделать краткий конспект данной темы.

Задание 2. Выучить все формулировки определений и теорем.

Задание 3.   Рассмотреть решение задач.

Задание 4. Решить задачи.

Задача 1. Найдите координаты вектора , если М(10; -4; 2) и К(16; 2 -5).

Задача 2. Найдите длину вектора ( - 5; 1; 2).

Задача 3. Найдите сумму векторов и , если А(2; 3; -1), С(3; -2; 0), В (3,6,0), Д (-2,5,-4)

Задача 4. Найдите разность векторов и , если В(3; 7; 10), С(1; 9; -6), А(-6,0,1)

Выполненные задания и вопросы по выполнению работ отправить на адрес электронной почты преподавателя: [email protected]. Имя файла – фамилия студента и номер занятия. (например, Петров-111)