Методы решения задач на оптимальный выбор

УДК 517

ФЕДОТОВ ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ,

ТЮТЮНОВ МИХАИЛ ЮРЬЕВИЧ,

ГРИЩЕНКО АЛЕКСАНДРА ЮРЬЕВНА

e-mail: akimtsev98@mail.ru

Россия, Курск, МБОУ «Средняя школа № 42»

Научный руководитель: Натарова М.Г., учитель МБОУ СШ №42

Научный консультант: Шевцова Т.В., ст. преподаватель ЮЗГУ

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ОПТИМАЛЬНЫЙ ВЫБОР

В статье рассмотрены различные подходы к решению вопросов, связанных с нахождением наибольшего или наименьшего значений некоторой величины на примере задач на оптимальный выбор профильного уровня единого государственного экзамена по математике

Ключевые слова: функция, линейная функция, окружность, наибольшее и наименьшее значения функции, производная, тригонометрия, синус, косинус

Один из видов задач № 17 профильного уровня единого государственного экзамена по математике представляет собой задание на нахождение наибольшего или наименьшего значения некоторой величины.

Приведем пример такой задачи.

Задача 1.

В области есть 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. Для добычи х кг алюминия в день требуется x² человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у² человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в этой области?

Как правило, задачи, подобные указанной, решаются средствами дифференциального исчисления. Чтобы проследить преимущества иных подходов, кратко остановимся на ставшем традиционным для этих задач решении.

Решение с помощью производной

Провести такое решение можно несколькими способами.

1. Задача сводится к исследованию функции на наибольшее значение на , где – масса алюминия (в кг), добываемого в области за сутки. В этом случае стационарная точка находится из равенства , откуда

Нетрудно убедиться, что на указанном промежутке наибольшее значение функции .

_{Решение задачи только немного облегчается в случае проведения рассуждений вторым способом.}

1. Задача сводится к исследованию функции на наибольшее значение на , где – число человек, занятых на добыче алюминия в области за сутки. Тогда , откуда

Целесообразнее было рассмотреть функцию и исследовать ее на наибольшее значение на , где – число человеко-часов, затрачиваемых на добычу алюминия в области за сутки. В этом случае стационарная точка находится из равенства , откуда

_{Как видим, описанный подход может вызвать сложности и требует}

_{– знания алгоритма исследования функции на наибольшее и наименьшее}

_{значения} на ,

_{– умения находить множество значений некоторой переменной для}

_{определения отрезка} ,

_{– навыка вычислять производную сложной функции, который хорошо отрабатывается в школе только в классах с углубленным изучением математики,}

_{– умений решать иррациональные уравнения.}

_{Ошибка, сделанная учеником хотя бы на одном из этапов исследования, приведет к неверному ответу.}

_{Графический метод решения}

_{Мы предлагаем совершенно иной подход к решению задачи, не требующий ни вычисления производной функции, ни решения громоздких иррациональных уравнений, а основанного на знании уравнений прямой и окружности на плоскости.}

_{Введем переменные} х и у так, как указано в условии задачи, то есть х кг – масса добываемого алюминия, и у кг – масса добываемого никеля. Тогда Требуется найти наибольшее значение величины S, где

_{В прямоугольной декартовой системе координат построим линии, задаваемые указанными выше уравнениями (рис. 1)}

_{Уравнение задает окружность с центром в точке (0; 0) и радиуса}

_{Уравнение равносильно уравнению и задает прямую на плоскости, пересекающую ось ординат в точке (0; S).}

_{Требуется найти наибольшее значение S, при котором имеет решение система:}

_(*)

_{Из графических соображений заключаем, что наибольшее значение S достигается в случае, если и система (*) имеет единственное решение. В этом случае единственное решение имеет уравнение:}

_{С учетом того, что выбираем наибольшее значение S, заключаем S=40.}

_{Как видим, указанный метод решения, основанный на построении графиков функций, вполне доступен не только для школьников старших классов, но и для тех, кто еще не изучил дифференциальное исчисление. Он позволяет сразу найти наибольшее значение искомой величины, в отличие от предыдущих способов, которые предполагают сначала нахождение значений независимой переменной, в которых возможно достижение наибольшего значения исследуемой функции.}

_{В разобранном нами примере фигурировала окружность. Возникает вопрос, как быть, если одно из условий приводит к необходимости рассмотрения другой линии второго порядка.}

_{Рассмотрим следующую задачу.}

_{Задача 2.}

В области есть 24 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. Для добычи х кг алюминия в день требуется 2x² человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется 3у² человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях?

_{Рассуждения, аналогичные данным выше, приводят к системе:}

_{Первое уравнение задает эллипс, но переход к новым координатам позволяет вновь выйти на уравнение окружности и свести задачу к предыдущей:}

_.

_{Тогда имеем:}

_{Находя наибольшее значение S, при котором система имеет решение, не сложно получить, что S=10.}

_{Несмотря на отмеченные плюсы графического метода решения задач на оптимальный выбор, в ряде случаев обойтись без средств дифференциального исчисления оказывается не возможным или очень сложным.}

_{Тригонометрический метод решения}

_{Изложим еще один подход к решению задач на оптимальный выбор, не требующий ни рассмотрения производной, ни построения графиков уравнений, но использующий элементы тригонометрии.}

_{Вернемся к задаче 1, решение которой привело к рассмотрению системы (*).}

_{Из первого уравнения системы имеем:}

_{Выражения} , можно считать косинусом и синусом некоторого угла:

, .

Подставляем и во второе уравнение системы _(*):

_{Оценим наибольшее возможное значение S. Воспользовавшись формулой дополнительного угла, получаем:}

_.

_{Так как , то делаем вывод: искомое наибольшее значение S=40.}

_{Таким образом нами рассмотрены 3 подхода к решению задач на оптимальный выбор: с помощью производной, графический и тригонометрический.}

_{Говоря о преимуществах и сложностях использования каждого метода, согласимся с авторами работ [2], [3], [4], [5], утверждающими, что в школе и в вузе полезным оказывается разбор нескольких способов решения одной и той же задачи. Именно в этом случае можно говорить о возможности глубокого формирования математических понятий, об осмыслении единства математических понятий и развитии математического мышления.}

Библиографический список

1. ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий. [Текст] / И.В. Ященко. – М.: Национальное образование, 2018. – 264 с.

2. Студеникина, Л.И. О единой платформе различных математических дисциплин [Текст] / Л.И. Студеникина, Т.В. Шевцова // Актуальные проблемы и перспективы преподавания математики: – 2012. – С.73-80.

3. Шевцова, Т.В. Проблема формирования математических понятий [Текст] / Т.В. Шевцова, А.А. Панина // Актуальные проблемы и перспективы преподавания математики. – 2012. – С. 91-97.

4. Шевцова, Т.В. Проблемы преподавания математических дисциплин в современных вузах России [Текст] / Т.В. Шевцова // Актуальные проблемы и перспективы преподавания математики. – 2016. – С. 33-37.

5. Шеставина, С.В. Содержание математических курсов [Текст] / С.В. Шеставина, О.А. Бредихина, С.В. Фильчаков // Актуальные проблемы и перспективы преподавания математики: – 2013. – С.186-190.

FEDOTOV VLADIMIR,

TYUTYUNOV, MIKHAIL,

GRISHCHENKO ALEXANDRA

e-mail: [email protected]

Russia, Kursk, School № 42

Supervisor: Natarova M.G., teacher, School №42

Scientific adviser: Shevtsova T.V., Senior Lecturer, SWSU

METHODS OF SOLVING PROBLEMS ON OPTIMAL CHOICE

Different approaches to solving problems related to finding the largest or smallest values of a certain value on the example of problems for the optimal choice of the profile level of the unified state examination in mathematics are considered in the article

Keywords: function, linear function, circle the largest and smallest values of the function, derivative, trigonometry, sine, cosine