Наименьшее общее кратное

НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ (НОК)

Изучение нового материала

От одной пристани к другой ходят два катера. Начинают работу одновременно в 8 ч утра. Первый катер на рейс туда и обратно тратит 2ч, а второй - 3 ч.

Через какое наименьшее время оба катера опять окажутся на первой пристани, и сколько рейсов за это время сделает каждый катер?

Туда и обратно

Туда и обратно

идет 3 ч.

идет 2 ч.

Подчеркнем общие кратные чисел 2 и 3.

Сколько рейсов за это время сделает каждый катер?

Искомое время должно делиться без остатка и на 2, и на 3 то есть должно быть кратным числам 2 и 3.

Числа кратные:

2:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24 …

3:

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24…

Наименьшее общее кратное

Значит, через 6 ч после начала работы два катера одновременно окажутся на первой пристани.

Первый – 3 рейса, второй – 2 рейса.

Определение.

Наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных натуральных чисел, называется наименьшим общим кратным.

Обозначение: НОК (2; 3) = 6.

Алгоритм нахождения НОК:

1. Разложить все числа на простые множители.

2. Написать разложение одного из чисел (лучше наибольшего).

3. Дополнить данное разложение теми множителями из разложения других чисел, которые не вошли в написанное разложение.

Пример:

Найдите наименьшее общее кратное чисел: 75 и 60.

60

75

15

30

5

2

3

15

5

2

3

3

1

5

1

3

60 = 2∙ 2∙ 3 ∙ 5

75 = 3 ∙ 5∙ 5

НОК (75; 60) = 3 ∙ 5 ∙ 5∙ 2∙ 2 = 75∙ 2 ∙ 2 = 300.

Вдоль дороги от пункта А поставлены столбы через каждые 45 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 60 м друг от друга. Найдите расстояние от пункта А до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого.

Нужно найти НОК чисел 45 и 60.

45 = 3 ∙ 3 ∙ 5 60 = 2 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 3

НОК (45; 60) = 60 ∙ 3 = 180,

значит 180 м.

Ответ: 180 м.

№ 184.

В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй 20 суток и третий 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трем маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание?

Нужно найти НОК чисел 15; 20 и 12.

15 = 3 ∙ 5; 20 = 2 ∙ 2 ∙ 5;

12 = 2 ∙ 2 ∙ 3;

№ 185

НОК (15; 20; 12) = 20 ∙ 3 = 60, следовательно, через 60 суток.

Найдите наименьшее общее кратное чисел:

12 и 16

12

2

6

2

3

3

1

16

8

2

2

4

2

2

2

1

12 = 2 ∙ 2 ∙ 3; 16 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2

№ 181 б

НОК (12; 16) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 48

Найдите наименьшее общее кратное чисел:

396 и 180

180

396

2

90

2

198

2

99

45

2

15

3

3

33

5

11

3

3

1

1

5

11

№ 181 г

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 · 11; 180 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 · 5

НОК (396; 180) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 5 = 1980

Найдите наименьшее общее кратное чисел:

168, 231 и 60.

60

2

30

2

15

3

5

1

5

168

2

84

42

2

21

2

7

3

1

7

231

231

1

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 · 7; 231 = 1 · 231; 60 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

НОК (168; 231; 60) = 231 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 · 7 · 5 = 194 040

10.05.2012

www.konspekturoka.ru

Являются ли числа 54 и 65 взаимно простыми? Найдите наименьшее общее кратное чисел 54 и 65. Равно ли оно произведению 54 и 65? Запишите какие-нибудь два взаимно простых числа. Найдите наименьшее общее кратное этих чисел. Сделайте вывод.

Найдем наименьшее общее кратное любых двух взаимно простых чисел

54

65

2

27

5

13

13

3

1

9

3

3

3

1

35

24

2

12

7

5

2

7

1

6

3

2

3

1

54 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3

65 = 5 ∙ 13

24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3

35 = 5 · 7

№ 182

НОК (54; 65) = 54 · 65 = 3510;

НОК (24; 35) = 24 · 35 = 840;

Вывод:

Наименьшее общее кратное двух взаимно простых

чисел равно их произведению.

Найдите наименьшее общее кратное чисел:

а) 45 и 135; б) 34 и 170.

Равно ли оно одному из данных чисел?

135

34

170

85

2

17

3

45

2

5

1

17

3

15

17

3

5

17

1

5

1

45

15

3

5

3

5

1

Так как большее число делится на меньшее, то наименьшим

общим кратным этих чисел будет являться большее число.

НОК (45; 135) = 135; НОК (34; 170) = 170.

№ 183.

Найдите наименьшее общее кратное :

в) НОК (22; 66) = ?

66

22

2

33

11

2

11

3

1

11

11

1

НОК (22; 66) = 2 · 3 · 11 = 66

№ 188 в.

Найдите наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель чисел 39 и 65:

г) НОК (39; 65) = ?

39

3

13

13

1

65

5

13

13

1

№ 188 г.

НОК (39; 65) = 5 · 13 · 3 = 195;

Найди НОК(4, 3)=

12

3

4

24

Найди НОК(15, 3)=

30

3

15

5

Какую цифру нужно подставить в число вместо пропуска, чтобы получить верное равенство?

НОК (4; 1_) = 16

8

4

6

0

Найди НОК(24, 60)=

120

60

240

180