Некоторые решения нестандартных уравнений и неравенств

Некоторые решения нестандартных уравнений и неравенств

Подготовила:

Воронина Елизавета

Когда уравненье решаешь, дружок,

Ты должен найти у него корешок.

Значение буквы проверить несложно,

Подставь в уравненье его осторожно.

Коль верное равенство выйдет у вас,

То корнем значенье зовите тотчас.

О.Севостьянова.

Цель –рассмотреть и применить на практике методы решения уравнений и неравенств, основанные на использовании свойств функции; рассмотреть и применить на практике дополнительные нестандартные методы решения уравнений и неравенств .

.

Метод мажорант (метод оценки ограниченности функций).

Методом мажорант решаются уравнения вида

f(x)=g(x) , где f(x) и g(x) функции совершенно

разного вида. Если на некотором промежутке

G наибольшее значение функции y=f(x) равно М , а

наименьшее значение функции y=g(x) равно М , то

уравнение

f(x)=g(x)

Решите уравнение:

Решение.

• ОДЗ: x Є R

Оценим левую часть уравнения :

• Оценим правую часть уравнения:
• Следовательно, левая часть исходного уравнения может быть равна правой части, только если обе части одновременно равняются 3.
• Решая второе уравнение, получаем х=0.

• Ответ: х=0

Использование монотонности функций

Если y = f ( x ) - монотонная функция, то уравнение f ( x ) = c имеет не более одного корня

Пусть функция y = f ( x ) возрастает на промежутке М, а функция y = g ( x ) убывает на этом промежутке. Тогда уравнение f ( x )= g ( x ) имеет на промежутке М не более одного корня.

Пусть область определения функции f ( t ) есть промежуток М, и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна (т.е. возрастает или убывает) на этом промежутке. Тогда уравнение

равносильно системе :

Решите уравнение :

Функция возрастающая (как сумма двух возрастающих функций). В правой части –постоянная, то по теореме о корне данное уравнение имеет не более одного корня.

Методом подбора найдем корень уравнения, он равен 2

Ответ. Х=2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе исследования цель работы достигнута, полностью решены поставленные задачи и получены следующие результаты и выводы:

1.Приведены сведения о давности постановки перед человеком задачи решения уравнений и неравенств.

2.Приведены и рассмотрены на примере методы решения уравнений и неравенств, основанные на использовании свойств функции.

3.Рассмотрены и опробованы дополнительные нестандартные методы решения уравнений и неравенств.

Применение нестандартных методов решения задач по математике требует от старшеклассников и абитуриентов нетрадиционного мышления, необычных рассуждений. Незнание и непонимание таких методов существенно уменьшает область успешно решаемых задач по математике. Тем более, что имеющая место тенденция к усложнению конкурсных заданий по математике стимулирует появление новых оригинальных (нестандартных) подходов к решению математических задач. Следует отметить, что знание нестандартных методов и приемов решения задач по математике способствует развитию у старшеклассников нового, нешаблонного мышления, которое можно успешно применять также и в других сферах человеческой деятельности (кибернетика, вычислительная техника, экономика, радиофизика, химия и т.д.).