Неравенство треугольника

Тема: Неравенство треугольника

Тип урока: изучение нового материала
Продолжительность: 40 минут
Цель: сформировать представление о неравенстве треугольника, научить применять его на практике.

Ход урока:

1. Организационный момент (2 минуты)

Добрый день, ребята! Присаживайтесь.
Прежде чем начать, давайте проверим готовность: поднимите руку те, у кого есть линейка и циркуль. Хорошо, спасибо.
У вас на столах лежат три полоски бумаги длиной 3 см, 4 см и 6 см. Попробуйте сложить из них треугольник. Получилось? А теперь возьмите полоски 2 см, 3 см и 7 см — что изменилось?
Именно этим вопросом — когда треугольник можно построить, а когда нет — мы и займёмся сегодня.  К концу урока вы сможете легко отвечать на вопрос: существует ли треугольник со 

сторонами 5 см, 8 см и 14 см? Начинаем!

2. Актуализация знаний (5 минут)

Прежде чем перейти к новой теме, давайте вспомним то, что вы уже знаете о 

треугольниках. Ответьте, пожалуйста, на несколько вопросов:

1. Что такое треугольник? (Ожидаемый ответ: фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти точки.)

2. Назовите основные элементы треугольника. (Ожидаемый ответ: стороны, углы, 

вершины.)

1. Какие виды треугольников вы знаете? По каким признакам их можно 

классифицировать? (Ожидаемые ответы: по сторонам — равносторонние, равнобедренные, разносторонние; по углам — остроугольные, прямоугольные, тупоугольные.)

1. Как найти периметр треугольника? (Ожидаемый ответ: нужно сложить длины

 всех его сторон.)

Отлично, вы хорошо помните основные понятия. Теперь давайте решим небольшую 

практическую задачу.

Посмотрите на доску. Здесь изображены три отрезка длиной 3 см, 4 см и 5 см. 

Вопрос: можно ли из них построить треугольник? И если да, то как это сделать?

(Ученики предлагают варианты. Учитель вызывает одного ученика к доске, чтобы тот попробовал построить треугольник с помощью циркуля и линейки.)

Видим, что треугольник построить удалось. Давайте измерим его стороны и запишем: 3 см, 4 см, 5 см. Периметр этого треугольника будет равен 3+4+5=12 см.

А теперь представьте, что у нас есть отрезки другой длины: 2 см, 3 см и 6 см. Подумайте и ответьте: можно ли из этих отрезков построить треугольник? Попробуйте мысленно 

«сложить» их или представить процесс построения.

(Ученики высказывают предположения. Учитель даёт 1–2 минуты на размышление, затем предлагает одному из учеников попробовать 

построить треугольник у доски.)

Что получилось? Почему не удалось построить треугольник из отрезков 2 см, 3 см и 6 см? (Ожидаемый вывод: самая длинная сторона (6 см) больше, чем сумма двух других сторон (2+3=5 см).)

Именно этот вопрос при каких условиях из трёх отрезков можно построить 

треугольник? мы и разберём сегодня на уроке. Это и есть суть темы «Неравенство 

треугольника». Запишем её в тетрадях.

3. Изучение нового материала (15 минут)

На прошлом этапе мы выяснили, что не из любых трёх отрезков можно построить 

треугольник. Давайте теперь сформулируем чёткое правило — неравенство треугольника. Запишите в тетрадях заголовок: «Теорема о неравенстве 

треугольника».

Шаг 1. Формулировка теоремы (3 минуты)

Запишем формулировку:
«Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон».

Давайте запишем это математически. Обозначим стороны треугольника буквами a, b и c. Тогда для любого треугольника должны выполняться три неравенства:

Проговорите ещё раз вслух: каждая сторона должна быть меньше суммы двух других. Это и есть суть неравенства треугольника.

Шаг 2. Проверка на примерах (4 минуты)

Вернёмся к нашим примерам. Проверим, выполняется ли неравенство для отрезков, из 

которых мы смогли построить треугольник: 3 см, 4 см и 5 см.

Проверяем:

• 3

• 4

• 5

Все неравенства выполняются — треугольник существует.

Теперь проверим отрезки, из которых треугольник построить не удалось: 2 см, 3 см и 6 см.

• 2

• 3

• 6неверно).

Видим, что одно из условий не выполняется. Поэтому треугольник с такими сторонами 

построить нельзя.

Шаг 3. Доказательство теоремы (5 минут)

А теперь давайте докажем эту теорему. Начертите в тетрадях произвольный треугольник ABC.

Шаг 1. Продолжим сторону AB за точку B и отложим отрезок BD=BC. Получили точку D.

Шаг 2. Рассмотрим треугольник BCD. Он равнобедренный, так как BD=BC по 

построению. Значит, углы при основании равны: ∠BDC=∠BCD.

Шаг 3. Теперь посмотрим на угол ACD. Он больше угла BCD, а значит, и больше угла 

BDC.

Шаг 4. В треугольнике ACD против большего угла лежит большая сторона. Угол ACD∠ADC, значит, сторона ADAC.

Шаг 5. Но AD=AB+BD=AB+BC. Получается, что ACAB+BC.

Мы доказали, что сторона AC меньше суммы сторон AB и BC. Аналогично можно 

доказать и для двух других сторон. Теорема доказана.

Шаг 4. Следствие из теоремы (3 минуты)

Из этой теоремы вытекает важное следствие. Запишите:
«Длина любой стороны треугольника больше разности длин двух других сторон».

Математически это записывается так:

a∣b−c∣, b∣a−c∣, c∣a−b∣.

Это значит, что ни одна сторона не может быть слишком маленькой по сравнению с 

другими. Например, если две стороны равны 5 см и 8 см, то третья сторона должна быть

 больше 8−5=3 см.

— Теперь закрепим эти знания на практике. Переходим к решению задач!

4. Первичное закрепление (10 минут)

Задача 1. Существует ли треугольник со сторонами:
а) 5 см, 8 см, 12 см;
б) 3 см, 4 см, 9 см?

Решение:
а) Проверяем неравенства:
5 8 12≮13).
Ответ: не существует.

б) Проверяем:
3 4 9≮7).
Ответ: не существует.

Задача 2. Периметр треугольника равен 24 см. Может ли одна из его сторон быть равна:
а) 13 см;
б) 12 см?

Решение:
а) Если одна сторона 13 см, то сумма двух других 24−13=11 см. Но 1311, что противоречит неравенству треугольника. Ответ: не может.
б) Если сторона 12 см, сумма других 24−12=12 см. 12=12, что также нарушает строгое неравенство. Ответ: не может.

5. Самостоятельная работа (5 минут)

Вариант 1

1. Существует ли треугольник со сторонами 7 см, 9 см, 15 см?

2. Периметр треугольника 30 см. Может ли одна сторона быть 16 см?

Вариант 2

1. Существует ли треугольник со сторонами 6 см, 8 см, 14 см?

2. Периметр треугольника 28 см. Может ли одна сторона быть 15 см?

6. Подведение итогов (2 минуты)

Итак, что мы сегодня узнали?

1. Сформулировали теорему о неравенстве треугольника: каждая сторона меньше 

суммы двух других.

1. Научились проверять существование треугольника по длинам сторон.

2. Увидели доказательство этого свойства.

3. Узнали следствие: сторона больше разности двух других сторон.

Вопросы для рефлексии:

• Сформулируйте неравенство треугольника.

• Для чего нужно это свойство?

• Приведите пример практического применения неравенства треугольника

 (например, в строительстве, навигации).

7. Домашнее задание (1 минута)

1. Выучить формулировку теоремы.

2. Решить задачи:

Существует ли треугольник со сторонами 10 см, 15 см, 24 см?

Периметр треугольника 40 см. Могут ли его стороны быть 21 см, 10 см и 9 см?

1. Творческое задание (по желанию): найти примеры использования неравенства 

треугольника в реальной жизни.