НОД натуральных чисел. Для уроков в 5 классе

Как найти наибольший общий делитель

Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:

1. разложить делители чисел на простые множители;

Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных.

Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа28и64.

1. 
   
   Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах.
   28 =2·2· 7
   
   64 =2·2· 2 · 2 · 2 · 2

2. Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ;
   НОД(28; 64) = 2 · 2 = 4
   
   Ответ: НОД(28; 64) = 4

Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».

Найти НОД48и36.

НОД(48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12

Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД10и15.

Д(10) = {1, 2,5, 10}

Д(15) = {1, 3,5, 15}

Д(10, 15) = {1,5}

НОД(10; 15) = 5

Наибольший общий делитель (НОД) двух целых чисел

Описано нахождение наибольшего общего делителя двух целых чисел алгоритмом Евклида.

Это довольно просто. Надо строить уменьшающуюся последовательность чисел, первое число которой это максимальное из двух целых, чей НОД мы ищем, второе — соответственно, минимальное из двух целых, а каждое следующее представляет из себя остаток от деления пред-предыдущего на предыдущее. Последний ненулевой член последовательности и есть НОД.

Чтобы было легче воспринять, проиллюстрируем это примером. Найдем НОД для чисел 13 и 17.

1 шаг. Сформируем два первых числа последовательности
17, 13

2 шаг. Третье число последовательности — остаток от деления 17 на 13, то есть 4
17, 13, 4

3 шаг. Четвертое число последовательности — остаток от деления 13 на 4, то есть 1
17, 13, 4, 1

4 шаг. Пятое число последовательности — остаток от деления 4 на 1, то есть 0
17, 13, 4, 1, 0

Перед нулем стоит 1 — последний ненулевой член последовательности. Следовательно, это и есть искомый НОД. С учетом того, что и 13 и 17 — простые числа, это действительно так.

Наибольший общий делитель (НОД) двух целых чисел

Первое число

Второе число НОД(180;150)=30