Обратная матрица

Лекция № 11

Обратная матрица.

1. Понятие обратной матрицы. Алгоритмы вычисления обратной матрицы.

Понятие обратной матрицы

Определение 1. Квадратная матрица А порядка n называется невырожденной, если ее определитель |A| ≠ 0. В случае, когда |A| = 0, матрица А называется вырожденной.

Только для квадратных невырожденных матриц А вводится понятие обратной матрицы А^-1.

Определение 2. Матрица А^-1 называется обратной для квадратной невырожденной матрицы А, если А^-1А = АА^-1 = Е, где Е – единичная матрица порядка n.

Определение 3. Матрица называется присоединенной, ее элементами являются алгебраические дополнения транспонированной матрицы .

Алгоритм вычисления обратной матрицы методом присоединенной матрицы.

1. Находим определитель исходной матрицы. Если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует. Если определитель отличен от нуля, то матрица А невырожденная и обратная матрица существует.

2. Находим присоединенную матрицу А^*, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов транспонированной матрицы А.

3. Вычислим обратную матрицу по формуле:

, где .

4. Проверяем правильность вычисления А^-1А = АА^-1 = Е (Е – единичная матрица).

Матрицы А и А^-1 взаимообратные. Если |A| = 0, то обратная матрица не существует.

ЗАДАНИЕ 1. Дана матрица А. Убедиться, что она невырожденная, и найти обратную матрицу .

Решение:

1. . Следовательно матрица невырожденная.

2. Найдем обратную матрицу. Составим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

3. Получаем .

Для невырожденных матриц выполняются следующие свойства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

3